Номер 262, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 262, страница 62.

262. Постройте график функции:

a) $y=\frac{4}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=\frac{4}{x}$

x	1	0,5	2	4	8
y	4	8	2	1	0,5

 если x<0, то $y=-\frac{4}{x}$

x	-1	-0,5	-2	-4	-8
y	4	8	2	1	0,5

б) $y=\frac{2,4}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=\frac{2,4}{x}$

x	1	2	3	4	6	8	0,5
y	2,4	1,2	0,8	0,6	0,4	0,3	4,8

 если x<0, то $y=-\frac{2,4}{x}$

x	-1	-2	-3	-4	-6	-8	-0,5
y	2,4	1,2	0,8	0,6	0,4	0,3	4,8

в) $y=\frac{1}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=\frac{1}{x}$

x	0,5	0,2	1	2	5
y	2	5	1	0,5	0,2

 если x<0, то $y=-\frac{1}{x}$

x	-0,5	-0,2	-1	-2	-5
y	2	5	1	0,5	0,2

г) $y=\frac{-1}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=-\frac{1}{x}$

x	0,5	0,2	1	2	5
y	-2	-5	-1	-0,5	-0,2

 если x<0, то $y=\frac{1}{x}$

x	-0,5	-0,2	-1	-2	-5
y	-2	-5	-1	-0,5	-0,2

д) $y=-\frac{6}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=-\frac{6}{x}$

x	1	2	3	6
y	-6	-3	-2	-1

 если x<0, то $y=\frac{6}{x}$

x	-1	-2	-3	-6
y	-6	-3	-2	-1

е) $y=\frac{-3,6}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=-\frac{3,6}{x}$

x	0,6	1	2	3	3,6	4	6	9
y	-6	-3,6	-1,8	-1,2	-1	-0,9	-0,6	-0,4

 если x<0, то $y=\frac{3,6}{x}$

x	-0,6	-1	-2	-3	-3,6	-4	-6	-9
y	-6	-3,6	-1,8	-1,2	-1	-0,9	-0,6	-0,4

Общий подход для построения графиков функций вида $y = \frac{k}{|x|}$:

1. Все функции такого вида являются четными, поскольку $y(-x) = \frac{k}{|-x|} = \frac{k}{|x|} = y(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (оси Oy).

2. Область определения всех этих функций — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

3. Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

4. Для построения графика достаточно построить его часть для $x > 0$, где функция упрощается до $y = \frac{k}{x}$, а затем отразить эту часть симметрично относительно оси Oy.

а) $y = \frac{4}{|x|}$

Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти (поскольку $k=4 > 0$). Вычислим несколько точек: если $x=1$, то $y=4$; если $x=2$, то $y=2$; если $x=4$, то $y=1$. Построим эту ветвь. Затем, используя свойство четности, отразим построенную ветвь относительно оси Oy. Получим вторую ветвь графика, расположенную во второй координатной четверти, проходящую через точки $(-1, 4)$, $(-2, 2)$, $(-4, 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

б) $y = \frac{2,4}{|x|}$

Для $x > 0$ функция имеет вид $y = \frac{2,4}{x}$. Ветвь гиперболы расположена в первой четверти ($k=2,4 > 0$). Точки для построения: $(1; 2,4)$, $(2; 1,2)$, $(2,4; 1)$. Отразив эту ветвь относительно оси Oy, получаем вторую ветвь во второй четверти, проходящую через точки $(-1; 2,4)$, $(-2; 1,2)$, $(-2,4; 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

в) $y = \frac{1}{|x|}$

Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная ветвь гиперболы в первой четверти ($k=1 > 0$). Примеры точек: $(1, 1)$, $(2; 0,5)$, $(0,5; 2)$. Симметричная ей ветвь во второй четверти проходит через точки $(-1, 1)$, $(-2; 0,5)$, $(-0,5; 2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

г) $y = \frac{-1}{|x|}$

Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{-1}{x}$. Так как $k=-1 < 0$, ветвь гиперболы расположена в четвертой координатной четверти. Примеры точек: $(1, -1)$, $(2; -0,5)$, $(0,5; -2)$. Симметричная ей ветвь, полученная отражением относительно оси Oy, находится в третьей четверти и проходит через точки $(-1, -1)$, $(-2; -0,5)$, $(-0,5; -2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

д) $y = -\frac{6}{|x|}$

Эту функцию можно записать как $y = \frac{-6}{|x|}$. Для $x > 0$ получаем $y = -\frac{6}{x}$. Так как $k=-6 < 0$, ветвь гиперболы расположена в четвертой четверти. Точки для построения: $(1, -6)$, $(2, -3)$, $(3, -2)$, $(6, -1)$. Симметричная ей ветвь в третьей четверти проходит через точки $(-1, -6)$, $(-2, -3)$, $(-3, -2)$, $(-6, -1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

е) $y = \frac{-3,6}{|x|}$

Для $x > 0$ функция имеет вид $y = \frac{-3,6}{x}$. Ветвь гиперболы расположена в четвертой четверти ($k=-3,6 < 0$). Точки для построения: $(1; -3,6)$, $(2; -1,8)$, $(3,6; -1)$. Симметричная ей ветвь в третьей четверти проходит через точки $(-1; -3,6)$, $(-2; -1,8)$, $(-3,6; -1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.