Номер 256, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 256, страница 62.

256. Докажите, что если z является средним гармоническим положительных чисел a и b, причём a ≠ b, то верно равенство

Если $z=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}},$то $\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Докажем это.

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}-a}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}-b}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{a+b}{ab}}}}-a}+ \\ +\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{a+b}{ab}}}}-b}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}-a}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}-b}= \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab-a(a+b)}{a+b}}}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab-b(a+b)}{a+b}}}= \\ =\frac{a+b}{2ab-a^2-ab}+\frac{a+b}{2ab-ab-b^2}=\frac{a+b}{ab-a^2}+ \\ +\frac{a+b}{ab-b^2}=\frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{a+b}{b(a-b)}=\frac{a+b}{a(b-a)}- \\ -\frac{a+b}{b(b-a)}=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab(b-a)}= \\ =\frac{ab+b^2-a^2-ab}{ab(b-a)}=\frac{b^2-a^2}{ab(b-a)}=\frac{(b-a)(b+a)}{ab(b-a)}= \\ =\frac{b+a}{ab}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{gathered}$$

По определению, среднее гармоническое $z$ двух положительных чисел $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Преобразуем это выражение, приведя знаменатель к общему виду:

$z = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь нам необходимо доказать истинность равенства $\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. Для этого мы преобразуем левую часть равенства, подставив в нее выражение для $z$.

Сначала вычислим знаменатели дробей в левой части:

$z-a = \frac{2ab}{a+b} - a = \frac{2ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{ab - a^2}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$

$z-b = \frac{2ab}{a+b} - b = \frac{2ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{ab - b^2}{a+b} = \frac{b(a-b)}{a+b}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{a(b-a)}{a+b}} + \frac{1}{\frac{b(a-b)}{a+b}}$

Упростим "многоэтажные" дроби, "перевернув" их:

$\frac{a+b}{a(b-a)} + \frac{a+b}{b(a-b)}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого учтем, что $a(b-a) = -a(a-b)$:

$\frac{a+b}{-a(a-b)} + \frac{a+b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{b(a-b)} - \frac{a+b}{a(a-b)}$

Общий знаменатель равен $ab(a-b)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{a(a+b)}{ab(a-b)} - \frac{b(a+b)}{ab(a-b)} = \frac{a(a+b) - b(a+b)}{ab(a-b)}$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе за скобки:

$\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}$

Согласно условию, $a \neq b$, следовательно, $a-b \neq 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $(a-b)$:

$\frac{a+b}{ab}$

Теперь разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.