Страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

256. Докажите, что если z является средним гармоническим положительных чисел a и b, причём a ≠ b, то верно равенство

Если $z=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}},$то $\frac{1}{z-a}+\frac{1}{z-b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Докажем это.

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}-a}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}-b}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{a+b}{ab}}}}-a}+ \\ +\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{a+b}{ab}}}}-b}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}-a}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}-b}= \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab-a(a+b)}{a+b}}}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{2ab-b(a+b)}{a+b}}}= \\ =\frac{a+b}{2ab-a^2-ab}+\frac{a+b}{2ab-ab-b^2}=\frac{a+b}{ab-a^2}+ \\ +\frac{a+b}{ab-b^2}=\frac{a+b}{a(b-a)}+\frac{a+b}{b(a-b)}=\frac{a+b}{a(b-a)}- \\ -\frac{a+b}{b(b-a)}=\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab(b-a)}= \\ =\frac{ab+b^2-a^2-ab}{ab(b-a)}=\frac{b^2-a^2}{ab(b-a)}=\frac{(b-a)(b+a)}{ab(b-a)}= \\ =\frac{b+a}{ab}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{gathered}$$

По определению, среднее гармоническое $z$ двух положительных чисел $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Преобразуем это выражение, приведя знаменатель к общему виду:

$z = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь нам необходимо доказать истинность равенства $\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. Для этого мы преобразуем левую часть равенства, подставив в нее выражение для $z$.

Сначала вычислим знаменатели дробей в левой части:

$z-a = \frac{2ab}{a+b} - a = \frac{2ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{ab - a^2}{a+b} = \frac{a(b-a)}{a+b}$

$z-b = \frac{2ab}{a+b} - b = \frac{2ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{2ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{ab - b^2}{a+b} = \frac{b(a-b)}{a+b}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{\frac{a(b-a)}{a+b}} + \frac{1}{\frac{b(a-b)}{a+b}}$

Упростим "многоэтажные" дроби, "перевернув" их:

$\frac{a+b}{a(b-a)} + \frac{a+b}{b(a-b)}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Для этого учтем, что $a(b-a) = -a(a-b)$:

$\frac{a+b}{-a(a-b)} + \frac{a+b}{b(a-b)} = \frac{a+b}{b(a-b)} - \frac{a+b}{a(a-b)}$

Общий знаменатель равен $ab(a-b)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{a(a+b)}{ab(a-b)} - \frac{b(a+b)}{ab(a-b)} = \frac{a(a+b) - b(a+b)}{ab(a-b)}$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе за скобки:

$\frac{(a+b)(a-b)}{ab(a-b)}$

Согласно условию, $a \neq b$, следовательно, $a-b \neq 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $(a-b)$:

$\frac{a+b}{ab}$

Теперь разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

257. Известно, что точка P(–9; 18) принадлежит графику функции, заданной формулой вида y =kx. Найдите значение k.

P(-9; 18), $y=\frac{k}{x}$

$18=\frac{k}{-9}; k=18·(-9)=-162$

Ответ: -162

По условию, точка $P(-9; 18)$ принадлежит графику функции, заданной формулой $y = \frac{k}{x}$. Это означает, что если подставить координаты точки $P$ в формулу функции, то мы получим верное равенство.

В точке $P$ абсцисса $x = -9$, а ордината $y = 18$. Подставим эти значения в уравнение функции:

$18 = \frac{k}{-9}$

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной $k$. Чтобы найти $k$, нужно умножить обе части уравнения на знаменатель дроби, то есть на $-9$:

$k = 18 \cdot (-9)$

Вычисляем произведение:

$k = -162$

Следовательно, значение коэффициента $k$ равно -162.

Ответ: -162

258. Принадлежит ли графику функции y =$\frac{1}{x}$ точка:

$y=\frac{1}{x}$

a) A(40; 0,025)

$y=\frac{1}{40}=0,025$ - верно

Ответ: да

б) B(0,03125; 32)

$y=\frac{1}{0,03125}=\frac{100000}{3125}=32$ - верно

Ответ: да

в) C(0,016; $6\frac{1}{4}$)

$y=\frac{1}{0,016}=\frac{1000}{16}=62,5\ne 6\frac{1}{4}$ - неверно

Ответ: нет

г) D(0,125; 0,8)

$y=\frac{1}{0,125}=\frac{1000}{125}=8\ne 0,8$ - неверно

Ответ: нет

Чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x; y)$ графику функции $y = \frac{1}{x}$, необходимо подставить эти координаты в уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит. Альтернативный и часто более простой способ проверки — вычислить произведение координат точки: если $x \cdot y = 1$, то точка принадлежит графику.

а) A(40; 0,025)
Подставим координаты точки A ($x = 40$, $y = 0,025$) в уравнение функции $y = \frac{1}{x}$.
Получаем: $0,025 = \frac{1}{40}$.
Преобразуем правую часть равенства: $\frac{1}{40} = 1 \div 40 = 0,025$.
В результате получаем верное равенство: $0,025 = 0,025$.
Проверка через произведение: $40 \cdot 0,025 = 1$.
Следовательно, точка A принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

б) B(0,03125; 32)
Подставим координаты точки B ($x = 0,03125$, $y = 32$) в уравнение функции.
Получаем: $32 = \frac{1}{0,03125}$.
Для проверки преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,03125 = \frac{3125}{100000} = \frac{1}{32}$.
Теперь равенство выглядит так: $32 = \frac{1}{1/32}$.
$32 = 32$. Это верное равенство.
Проверка через произведение: $0,03125 \cdot 32 = \frac{1}{32} \cdot 32 = 1$.
Следовательно, точка B принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

в) C(0,016; 6 1/4)
Подставим координаты точки C ($x = 0,016$, $y = 6 \frac{1}{4}$) в уравнение. Предварительно преобразуем $y$ в десятичную дробь: $y = 6 \frac{1}{4} = 6,25$.
Получаем: $6,25 = \frac{1}{0,016}$.
Вычислим правую часть: $\frac{1}{0,016} = \frac{1}{16/1000} = \frac{1000}{16} = 62,5$.
В результате получаем неверное равенство: $6,25 \neq 62,5$.
Проверка через произведение: $0,016 \cdot 6,25 = 0,1$. Так как $0,1 \neq 1$, точка не принадлежит графику.
Следовательно, точка C не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

г) D(0,125; 0,8)
Подставим координаты точки D ($x = 0,125$, $y = 0,8$) в уравнение функции.
Получаем: $0,8 = \frac{1}{0,125}$.
Вычислим правую часть: $\frac{1}{0,125} = \frac{1}{1/8} = 8$.
В результате получаем неверное равенство: $0,8 \neq 8$.
Проверка через произведение: $0,125 \cdot 0,8 = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{10} = \frac{1}{10} = 0,1$. Так как $0,1 \neq 1$, точка не принадлежит графику.
Следовательно, точка D не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

259. Известно, что график функции y =$\frac{k}{x}$ проходит через точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку:

$y=\frac{k}{x}, A(10;2,4); 2,4=\frac{k}{10}; k=24; y=\frac{24}{x}$

a) B(1; 24)

$y=\frac{24}{1}=24$ - верно

Ответ: да

б) C($-\frac{1}{5}$; -120)

$y=\frac{24}{-{\displaystyle \frac{1}{5}}}=-24·5=-120$ - верно

Ответ: да

в) D(-2; 12)

$y=\frac{24}{-2}=-12\ne 12$ - неверно

Ответ: нет

г) E(-10; -2,4)

$y=\frac{24}{-10}=-2,4$ - верно

Ответ: да

д) K(5; -1,2)

$y=\frac{24}{5}=4,8\ne -1,2$ - неверно

Ответ: нет

е) M(-2,5; -0,6)

$y=\frac{24}{-2,5}=-\frac{240}{25}=-9,6\ne -0,6$ - неверно

Ответ: нет

Функция задана уравнением $y = \frac{k}{x}$. По условию, ее график проходит через точку A(10; 2,4). Чтобы найти неизвестный коэффициент $k$, подставим координаты точки A в уравнение функции.

При $x = 10$ и $y = 2,4$ получаем:

$2,4 = \frac{k}{10}$

Отсюда выражаем $k$:

$k = 2,4 \cdot 10 = 24$

Следовательно, уравнение функции имеет вид $y = \frac{24}{x}$.

Теперь проверим, принадлежит ли каждая из указанных точек графику этой функции. Точка принадлежит графику, если при подстановке ее координат в уравнение функции получается верное числовое равенство.

а) B(1; 24)

Подставляем координаты точки B ($x = 1$, $y = 24$) в уравнение $y = \frac{24}{x}$:
$24 = \frac{24}{1}$
$24 = 24$
Равенство верное.
Ответ: да, проходит.

б) C($-\frac{1}{5}$; -120)

Подставляем координаты точки C ($x = -\frac{1}{5}$, $y = -120$) в уравнение:
$-120 = \frac{24}{-\frac{1}{5}}$
$-120 = 24 \cdot (-5)$
$-120 = -120$
Равенство верное.
Ответ: да, проходит.

в) D(-2; 12)

Подставляем координаты точки D ($x = -2$, $y = 12$) в уравнение:
$12 = \frac{24}{-2}$
$12 = -12$
Равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.

г) E(-10; -2,4)

Подставляем координаты точки E ($x = -10$, $y = -2,4$) в уравнение:
$-2,4 = \frac{24}{-10}$
$-2,4 = -2,4$
Равенство верное.
Ответ: да, проходит.

д) K(5; -1,2)

Подставляем координаты точки K ($x = 5$, $y = -1,2$) в уравнение:
$-1,2 = \frac{24}{5}$
$-1,2 = 4,8$
Равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.

е) M(-2,5; -0,6)

Подставляем координаты точки M ($x = -2,5$, $y = -0,6$) в уравнение:
$-0,6 = \frac{24}{-2,5}$
$-0,6 = \frac{240}{-25}$
$-0,6 = -9,6$
Равенство неверное.
Ответ: нет, не проходит.

260. Найдите область определения функции и постройте её график:

a) $y=\frac{36}{{(x+1)}^2-{(x-1)}^2}$

$$\begin{gathered} {(x+1)}^2-{(x-1)}^2\ne 0 \\ (x+1-(x-1\left)\right)(x+1+x-1)\ne 0 \\ (x+1-x+1)·2x\ne 0 \\ 2·2x\ne 0 \\ 4x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме 0.

$y=\frac{36}{x}$

б) $y=\frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x}$

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2-3x\ne 0\\ 3-x\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x(x-3)\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{cc}x\ne 0;& x\ne 3\\ x\ne 3& \end{array}\right.$

Область определения функции: все числа, кроме 0 и 3.

$$\begin{gathered} \frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x}=\frac{18-12x}{x(x-3)}+\frac{6}{x-3}= \\ =\frac{18-12x+6x}{x(x-3)}=\frac{18-6x}{x(x-3)}=\frac{6(3-x)}{x(x-3)}= \\ =\frac{-6(x-3)}{x(x-3)}=-\frac{6}{x} \\ y=-\frac{6}{x} \end{gathered}$$

в) $y=\frac{16}{{(2-x)}^2-{(2+x)}^2}$

$$\begin{gathered} {(2-x)}^2-{(2+x)}^2\ne 0 \\ (2-x-(2+x\left)\right)(2-x+2+x)\ne 0 \\ (2-x-2-x)·4\ne 0 \\ -2x·4\ne 0 \\ -8x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме 0.

$y=\frac{16}{x}$

г) $y=\frac{3x(x+1)-3x^2+15}{x(x+5)}$

$$\begin{gathered} x(x+5)=0 \\ \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+5\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме -5 и 0.

$$\begin{gathered} \frac{3x(x+1)-3x^2+15}{x(x+5)}=\frac{3x^2+3x-3x^2+15}{x(x+5)}= \\ \frac{3x+15}{x(x+5)}=\frac{3(x+5)}{x(x+5)}=\frac{3}{x} \\ y=\frac{3}{x} \end{gathered}$$

а) $y = \frac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}$

1. Найдём область определения функции.

Область определения функции — это все значения переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. В данном случае знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$(x+1)^2 - (x-1)^2 \neq 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((x+1) - (x-1)) \cdot ((x+1) + (x-1)) \neq 0$

$(x+1-x+1) \cdot (x+1+x-1) \neq 0$

$(2) \cdot (2x) \neq 0$

$4x \neq 0$

$x \neq 0$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Мы уже преобразовали знаменатель: $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x}$

Итак, мы имеем функцию $y = \frac{9}{x}$ при условии, что $x \neq 0$.

3. Построим график.

Графиком функции $y = \frac{9}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=9 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Условие $x \neq 0$ из области определения соответствует вертикальной асимптоте, поэтому на графике нет выколотых точек.

Для построения найдем несколько точек:
при $x=1, y=9$
при $x=3, y=3$
при $x=9, y=1$
при $x=-1, y=-9$
при $x=-3, y=-3$
при $x=-9, y=-1$

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{9}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

б) $y = \frac{18-12x}{x^2-3x} - \frac{6}{3-x}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатели дробей в выражении не должны равняться нулю.

Из первого знаменателя: $x^2-3x \neq 0 \Rightarrow x(x-3) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Из второго знаменателя: $3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Преобразуем выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

$y = \frac{18-12x}{x(x-3)} - \frac{6}{-(x-3)} = \frac{18-12x}{x(x-3)} + \frac{6}{x-3}$

Приводим к общему знаменателю $x(x-3)$:

$y = \frac{18-12x + 6x}{x(x-3)} = \frac{18-6x}{x(x-3)}$

Вынесем в числителе общий множитель -6:

$y = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)}$

Сократим дробь на $(x-3)$, учитывая, что $x \neq 3$ из области определения:

$y = -\frac{6}{x}$

Итак, функция может быть записана как $y = -\frac{6}{x}$ при условиях $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

3. Построим график.

Графиком функции является гипербола $y = -\frac{6}{x}$. Так как коэффициент $k=-6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

Из области определения мы исключили точку $x=3$. Это означает, что на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты, подставив $x=3$ в упрощенную функцию:

$y = -\frac{6}{3} = -2$.

Следовательно, точка $(3, -2)$ не принадлежит графику.

График — это гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, -2)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции – гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, -2)$.

в) $y = \frac{16}{(2-x)^2 - (2+x)^2}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(2-x)^2 - (2+x)^2 \neq 0$

Используем формулу разности квадратов:

$((2-x) - (2+x)) \cdot ((2-x) + (2+x)) \neq 0$

$(2-x-2-x) \cdot (2-x+2+x) \neq 0$

$(-2x) \cdot (4) \neq 0$

$-8x \neq 0$

$x \neq 0$

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Знаменатель равен $-8x$. Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{16}{-8x} = -\frac{2}{x}$

Функция имеет вид $y = -\frac{2}{x}$ при $x \neq 0$.

3. Построим график.

Графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ является гипербола. Коэффициент $k=-2 < 0$, поэтому ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ и $y=0$. Условие $x \neq 0$ соответствует вертикальной асимптоте, выколотых точек на графике нет.

Несколько точек для построения:
при $x=1, y=-2$
при $x=2, y=-1$
при $x=-1, y=2$
при $x=-2, y=1$

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = -\frac{2}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

г) $y = \frac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x(x+5) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Сначала упростим числитель:

$3x(x+1) - 3x^2 + 15 = 3x^2 + 3x - 3x^2 + 15 = 3x + 15$

Вынесем общий множитель 3:

$3x + 15 = 3(x+5)$

Подставим упрощенный числитель в функцию:

$y = \frac{3(x+5)}{x(x+5)}$

Сократим дробь на $(x+5)$, учитывая, что $x \neq -5$:

$y = \frac{3}{x}$

Функция имеет вид $y = \frac{3}{x}$ при условиях $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

3. Построим график.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{3}{x}$. Коэффициент $k=3 > 0$, значит, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

Из области определения мы исключили точку $x=-5$. Найдем координаты соответствующей "выколотой" точки на графике:

$y = \frac{3}{-5} = -0.6$.

Следовательно, точка $(-5, -0.6)$ не принадлежит графику.

График — это гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.

261. Постройте график функции y = - 4 -x + 2x² + 2x. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

$y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}$

$$\begin{gathered} -4-\frac{x+2}{x^2+2x}=-4-\frac{x+2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x(x+2)-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{-4x^2-8x-x-2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x^2-9x-2}{x(x+2)}=\frac{-4x^2-8x-x-2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x(x+2)-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{(x+2)(-4x-1)}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x-1}{x}=-\frac{4x}{x}-\frac{1}{x}=-4-\frac{1}{x} \\ y=-4-\frac{1}{x} \\ {x}^2+2x\ne 0 \\ x(x+2)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+2\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме -2 и 0.

$y=-4-\frac{1}{x}$

Прямая y=m не имеет с графиком общих точек при m=-4 и при m=-3,5 (если x=-2, то $y=-4-\frac{1}{-2};$ y=-4+0,5; y=-3,5)

Построение графика

Для построения графика функции $y = -4 - \frac{x+2}{x^2+2x}$ сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2+2x \neq 0$ $x(x+2) \neq 0$ Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Теперь упростим функцию для всех $x$ из области определения. Так как $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = -4 - \frac{x+2}{x(x+2)} = -4 - \frac{1}{x}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{x} - 4$ при условиях $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

График функции $y = -\frac{1}{x} - 4$ — это гипербола. Она получена из графика стандартной гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ (ветви в II и IV координатных четвертях) путем сдвига на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Свойства графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

Учтем ограничение $x \neq -2$. Это означает, что на графике есть выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x = -2$ в уравнение упрощенной функции:

$y(-2) = -4 - \frac{1}{-2} = -4 + 0.5 = -3.5$

Следовательно, точка с координатами $(-2; -3.5)$ на графике отсутствует (выколота).

Ответ: График функции является гиперболой $y = -\frac{1}{x} - 4$ с выколотой точкой $(-2; -3.5)$. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=0$, горизонтальная асимптота — прямая $y=-4$.

Определение значений m

Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно определить, при каких значениях $m$ эта прямая не имеет с построенным графиком общих точек.

Исходя из свойств графика:

1. График функции не пересекает свою горизонтальную асимптоту. Уравнение асимптоты — $y=-4$. Следовательно, при $m=-4$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
2. На графике есть выколотая точка $(-2; -3.5)$. Это значит, что точка с ординатой $-3.5$ на графике отсутствует. Прямая $y=-3.5$ проходит через эту "дырку". Проверим, пересекает ли эта прямая график в других точках. Для этого решим уравнение: $-3.5 = -4 - \frac{1}{x}$ $0.5 = -\frac{1}{x}$ $x = -\frac{1}{0.5} = -2$ Решение показывает, что единственная точка на полной гиперболе (без выкалывания) с ординатой $-3.5$ имеет абсциссу $x=-2$. Поскольку эта точка исключена из нашего графика, прямая $y=-3.5$ не имеет с ним общих точек.

При любых других значениях $m$ прямая $y=m$ будет пересекать одну из ветвей гиперболы ровно в одной точке.

Ответ: $m=-4; m=-3.5$.

262. Постройте график функции:

a) $y=\frac{4}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=\frac{4}{x}$

 если x<0, то $y=-\frac{4}{x}$

б) $y=\frac{2,4}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=\frac{2,4}{x}$

 если x<0, то $y=-\frac{2,4}{x}$

в) $y=\frac{1}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=\frac{1}{x}$

 если x<0, то $y=-\frac{1}{x}$

г) $y=\frac{-1}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=-\frac{1}{x}$

 если x<0, то $y=\frac{1}{x}$

д) $y=-\frac{6}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=-\frac{6}{x}$

 если x<0, то $y=\frac{6}{x}$

е) $y=\frac{-3,6}{\left|x\right|}$

если x>0, то $y=-\frac{3,6}{x}$

 если x<0, то $y=\frac{3,6}{x}$

Общий подход для построения графиков функций вида $y = \frac{k}{|x|}$:

1. Все функции такого вида являются четными, поскольку $y(-x) = \frac{k}{|-x|} = \frac{k}{|x|} = y(x)$. Это означает, что их графики симметричны относительно оси ординат (оси Oy).

2. Область определения всех этих функций — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

3. Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

4. Для построения графика достаточно построить его часть для $x > 0$, где функция упрощается до $y = \frac{k}{x}$, а затем отразить эту часть симметрично относительно оси Oy.

а) $y = \frac{4}{|x|}$

Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти (поскольку $k=4 > 0$). Вычислим несколько точек: если $x=1$, то $y=4$; если $x=2$, то $y=2$; если $x=4$, то $y=1$. Построим эту ветвь. Затем, используя свойство четности, отразим построенную ветвь относительно оси Oy. Получим вторую ветвь графика, расположенную во второй координатной четверти, проходящую через точки $(-1, 4)$, $(-2, 2)$, $(-4, 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

б) $y = \frac{2,4}{|x|}$

Для $x > 0$ функция имеет вид $y = \frac{2,4}{x}$. Ветвь гиперболы расположена в первой четверти ($k=2,4 > 0$). Точки для построения: $(1; 2,4)$, $(2; 1,2)$, $(2,4; 1)$. Отразив эту ветвь относительно оси Oy, получаем вторую ветвь во второй четверти, проходящую через точки $(-1; 2,4)$, $(-2; 1,2)$, $(-2,4; 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

в) $y = \frac{1}{|x|}$

Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная ветвь гиперболы в первой четверти ($k=1 > 0$). Примеры точек: $(1, 1)$, $(2; 0,5)$, $(0,5; 2)$. Симметричная ей ветвь во второй четверти проходит через точки $(-1, 1)$, $(-2; 0,5)$, $(-0,5; 2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

г) $y = \frac{-1}{|x|}$

Для $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{-1}{x}$. Так как $k=-1 < 0$, ветвь гиперболы расположена в четвертой координатной четверти. Примеры точек: $(1, -1)$, $(2; -0,5)$, $(0,5; -2)$. Симметричная ей ветвь, полученная отражением относительно оси Oy, находится в третьей четверти и проходит через точки $(-1, -1)$, $(-2; -0,5)$, $(-0,5; -2)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

д) $y = -\frac{6}{|x|}$

Эту функцию можно записать как $y = \frac{-6}{|x|}$. Для $x > 0$ получаем $y = -\frac{6}{x}$. Так как $k=-6 < 0$, ветвь гиперболы расположена в четвертой четверти. Точки для построения: $(1, -6)$, $(2, -3)$, $(3, -2)$, $(6, -1)$. Симметричная ей ветвь в третьей четверти проходит через точки $(-1, -6)$, $(-2, -3)$, $(-3, -2)$, $(-6, -1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

е) $y = \frac{-3,6}{|x|}$

Для $x > 0$ функция имеет вид $y = \frac{-3,6}{x}$. Ветвь гиперболы расположена в четвертой четверти ($k=-3,6 < 0$). Точки для построения: $(1; -3,6)$, $(2; -1,8)$, $(3,6; -1)$. Симметричная ей ветвь в третьей четверти проходит через точки $(-1; -3,6)$, $(-2; -1,8)$, $(-3,6; -1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в III и IV координатных четвертях и симметричных относительно оси Oy.

263. Постройте график функции:

a) $y=\frac{\left|2x-18\right|}{x-9}$

$x-9\ne 0; x\ne 9$

Область определения функции: все числа, кроме 9

если 2x-18>0, то $y=\frac{2x-18}{x-9}$

$y=\frac{2(x-9)}{x-9}; y=2$ при 2x>18; x>9

если 2x-18<0, то $y=-\frac{2x-18}{x-9}$

$y=-\frac{2(x-9)}{x-9}; y=-2$ при 2x<18; x<9

б) $y=\frac{\left|x+3\right|}{3x+9}$

$3x+9\ne 0; 3x\ne -9; x\ne -3$

Область определения функции: все числа, кроме -3

если x+3>0, x>-3 то $y=\frac{x+3}{3x+9}; y=\frac{x+3}{3(x+3)}; y=\frac{1}{3}$

если x+3<0, x<-3 то $y=-\frac{x+3}{3x+9}; y=-\frac{x+3}{3(x+3)}; y=-\frac{1}{3}$

а) $y = \frac{|2x - 18|}{x - 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 9 \neq 0 \implies x \neq 9$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$. В точке $x=9$ будет разрыв.

2. Раскроем модуль в числителе. Для этого рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Нуль подмодульного выражения: $2x - 18 = 0 \implies 2x = 18 \implies x = 9$.

Случай 1: Если $2x - 18 > 0$, то есть $x > 9$.

В этом случае $|2x - 18| = 2x - 18$. Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{2x - 18}{x - 9} = \frac{2(x - 9)}{x - 9} = 2$.

Таким образом, при $x > 9$ график функции представляет собой луч прямой $y = 2$.

Случай 2: Если $2x - 18 < 0$, то есть $x < 9$.

В этом случае $|2x - 18| = -(2x - 18) = -2x + 18$. Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{-(2x - 18)}{x - 9} = \frac{-2(x - 9)}{x - 9} = -2$.

Таким образом, при $x < 9$ график функции представляет собой луч прямой $y = -2$.

3. Построение графика.

График данной функции состоит из двух горизонтальных лучей. Так как функция не определена в точке $x=9$, на концах лучей будут "выколотые" точки.

• Луч $y = -2$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, 9)$. Начало луча в выколотой точке $(9, -2)$.
• Луч $y = 2$ для всех $x$ из интервала $(9, +\infty)$. Начало луча в выколотой точке $(9, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y = -2$ при $x < 9$ и $y = 2$ при $x > 9$. Точки $(9, -2)$ и $(9, 2)$ выколотые.

б) $y = \frac{|x + 3|}{3x + 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$3x + 9 \neq 0 \implies 3x \neq -9 \implies x \neq -3$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Точка $x=-3$ является точкой разрыва.

2. Раскроем модуль в числителе, рассмотрев два случая.

Нуль подмодульного выражения: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Случай 1: Если $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Функция принимает вид:

$y = \frac{x + 3}{3x + 9} = \frac{x + 3}{3(x + 3)} = \frac{1}{3}$.

При $x > -3$ график функции — это луч прямой $y = \frac{1}{3}$.

Случай 2: Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3)$. Функция принимает вид:

$y = \frac{-(x + 3)}{3x + 9} = \frac{-(x + 3)}{3(x + 3)} = -\frac{1}{3}$.

При $x < -3$ график функции — это луч прямой $y = -\frac{1}{3}$.

3. Построение графика.

График состоит из двух горизонтальных лучей. Точка с абсциссой $x=-3$ не входит в область определения, поэтому на графике будут выколотые точки.

• Луч $y = -\frac{1}{3}$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, -3)$. Начало луча в выколотой точке $(-3, -\frac{1}{3})$.
• Луч $y = \frac{1}{3}$ для всех $x$ из интервала $(-3, +\infty)$. Начало луча в выколотой точке $(-3, \frac{1}{3})$.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y = -\frac{1}{3}$ при $x < -3$ и $y = \frac{1}{3}$ при $x > -3$. Точки $(-3, -\frac{1}{3})$ и $(-3, \frac{1}{3})$ выколотые.