Страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

227. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения:

a) $\frac{n+6}{n}=\frac{n}{n}+\frac{6}{n}=1+\frac{6}{n}$

Значение дроби $\frac{6}{n}$является натуральным числом при n=1; 2; 3; 6

Ответ: при n=1; 2; 3; 6

б) $\frac{5n-12}{n}=\frac{5n}{n}-\frac{12}{n}=5-\frac{12}{n}$ было натуральным числом, нужно, чтобы

$5-\frac{12}{n}>0; \frac{12}{n}<5$

$n=1; 12<5$ - неверно

$n=2; 6<5$ - неверно

$n=3; 4<5$ - верно

$n=4; 3<5$ - верно

$n=6; 2<5$ - верно

$n=12; 1<5$ - верно

Ответ: при n=3; 4; 6; 12

в) $\frac{36-n^2}{n^2}=\frac{36}{n^2}-\frac{n^2}{n^2}=\frac{36}{n^2}-1={\left(\frac{6}{n}\right)}^2-1$

Чтобы значение выражения было натуральным числом, нужно, чтобы ${\left(\frac{6}{n}\right)}^2-1>0$

${\left(\frac{6}{n}\right)}^2>1$

$n=1; 36>1$ - верно

$n=2; 9>1$ - верно

$n=3; 4>1$ - верно

$n=6; 1>1$ - неверно

Ответ: при n=1; 2; 3

а)

Для того чтобы значение выражения $\frac{n+6}{n}$ было натуральным числом при натуральном $n$, преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, слагаемое 1 является натуральным числом. Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы второе слагаемое, $\frac{6}{n}$, также было натуральным числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 6.

Найдём все натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Проверка показывает, что все эти значения подходят:

При $n=1$: $\frac{1+6}{1} = 7$
При $n=2$: $\frac{2+6}{2} = 4$
При $n=3$: $\frac{3+6}{3} = 3$
При $n=6$: $\frac{6+6}{6} = 2$

Ответ: 1, 2, 3, 6.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{5n-12}{n}$. Преобразуем его:

$\frac{5n-12}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{12}{n} = 5 - \frac{12}{n}$

Чтобы значение этого выражения было натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. Дробь $\frac{12}{n}$ должна быть целым числом, чтобы результат вычитания был целым. Это значит, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 12. Натуральные делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

2. Результат вычитания должен быть натуральным числом, то есть быть больше или равен 1: $5 - \frac{12}{n} \geq 1$.

Решим это неравенство:

$4 \geq \frac{12}{n}$

Так как $n$ — натуральное, то $n > 0$, поэтому можно умножить обе части неравенства на $n$, сохранив знак:

$4n \geq 12$

$n \geq 3$

Теперь необходимо выбрать из всех натуральных делителей числа 12 те, которые удовлетворяют условию $n \geq 3$. Это числа: 3, 4, 6, 12.

Ответ: 3, 4, 6, 12.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{36-n^2}{n^2}$. Преобразуем его:

$\frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1$

Чтобы значение этого выражения было натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. Выражение $\frac{36}{n^2}$ должно быть целым числом. Это значит, что $n^2$ должно быть делителем числа 36.

2. Результат вычитания должен быть натуральным числом: $\frac{36}{n^2} - 1 \geq 1$.

Решим это неравенство:

$\frac{36}{n^2} \geq 2$

Так как $n^2 > 0$, умножим обе части на $n^2$:

$36 \geq 2n^2$

$18 \geq n^2$

Итак, нам нужно найти такие натуральные $n$, для которых $n^2$ является делителем 36 и одновременно $n^2 \leq 18$.

Проверим натуральные $n$ по порядку:
- Если $n=1$, то $n^2=1$. $1$ — делитель 36, и $1 \leq 18$. Подходит.
- Если $n=2$, то $n^2=4$. $4$ — делитель 36, и $4 \leq 18$. Подходит.
- Если $n=3$, то $n^2=9$. $9$ — делитель 36, и $9 \leq 18$. Подходит.
- Если $n=4$, то $n^2=16$. $16$ не является делителем 36. Не подходит.
- Если $n \geq 5$, то $n^2 \geq 25$, что больше 18. Следовательно, другие значения $n$ не подходят.

Таким образом, подходят значения n: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.

228. Найдите значение выражения, зная, что $\frac{x}{y}$= 5:

$\frac{x}{y}=5$

a) $\frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{y}=5+1=6$

б) $\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=5-1=4$

в) $\frac{y}{x}=\frac{1}{5}=0,2$

г) $\frac{x+2y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{2y}{x}=1+2·\frac{y}{x}=1+2·\frac{1}{5}=1\frac{2}{5}=1,4$

Дано, что $\frac{x}{y} = 5$. Исходя из этого, найдем значения предложенных выражений.

а)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{x+y}{y}$, преобразуем его, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y}$

Согласно условию, $\frac{x}{y} = 5$. Также очевидно, что $\frac{y}{y} = 1$ (при условии, что $y \ne 0$, что следует из условия $\frac{x}{y}=5$).

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 5 + 1 = 6$

Ответ: 6

б)

Аналогично пункту а), преобразуем выражение $\frac{x-y}{y}$ путем почленного деления числителя на знаменатель:

$\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y}$

Подставляем известные значения $\frac{x}{y} = 5$ и $\frac{y}{y} = 1$:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 5 - 1 = 4$

Ответ: 4

в)

Нам нужно найти значение выражения $\frac{y}{x}$. Это выражение является обратным (взаимно обратным) к данному в условии выражению $\frac{x}{y}$.

Если $\frac{x}{y} = 5$, то для нахождения обратной дроби $\frac{y}{x}$ нужно взять число, обратное 5:

$\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{x+2y}{x}$ и преобразуем его, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{x+2y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2y}{x}$

Мы знаем, что $\frac{x}{x} = 1$. Выражение $\frac{2y}{x}$ можно записать как $2 \cdot \frac{y}{x}$.

Из пункта в) мы уже нашли, что $\frac{y}{x} = \frac{1}{5}$.

Подставим все значения в преобразованное выражение:

$1 + 2 \cdot \frac{y}{x} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

Ответ: $\frac{7}{5}$

229. Зная, что $\frac{x + y}{y}$= 3, найдите значение выражения:

$\frac{x+y}{y}=3; \frac{x}{y}+\frac{y}{y}=3; \frac{x}{y}+1=3; \frac{x}{y}=2$

a) $\frac{x}{y}=2;$

б) $\frac{y}{x+y}=\frac{1}{3}$

в) $\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=2-1=1$

г) $\frac{y}{x}=\frac{1}{2}=0,5$

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{x}{y}$, преобразуем исходное равенство $\frac{x+y}{y} = 3$. Разделим почленно числитель дроби в левой части на знаменатель: $\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 3$. Поскольку $\frac{y}{y} = 1$ (при $y \neq 0$, что предполагается условием, так как $y$ стоит в знаменателе), мы получаем: $\frac{x}{y} + 1 = 3$. Теперь перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак: $\frac{x}{y} = 3 - 1$. $\frac{x}{y} = 2$.
Ответ: 2

б) Требуется найти значение выражения $\frac{y}{x+y}$. Это выражение является обратным к выражению $\frac{x+y}{y}$, значение которого нам дано в условии. Если $\frac{x+y}{y} = 3$, то, чтобы найти значение обратной дроби $\frac{y}{x+y}$, нужно взять обратное число к 3. $\frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{x-y}{y}$, поступим так же, как и в пункте а) — разделим почленно числитель на знаменатель: $\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y}$. Упрощаем выражение: $\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - 1$. Из решения пункта а) мы знаем, что $\frac{x}{y} = 2$. Подставим это значение: $\frac{x-y}{y} = 2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

г) Требуется найти значение выражения $\frac{y}{x}$. Это выражение является обратным к выражению $\frac{x}{y}$. В пункте а) мы нашли, что $\frac{x}{y} = 2$. Следовательно, значение обратного выражения $\frac{y}{x}$ будет равно обратной величине к 2. $\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

230. Выполните действие:

a) $\frac{3b^2-5b-1}{b^{2}y}+\frac{5b-3}{by}=\frac{3b^2-5b-1}{b^{2}y}+$

$$\begin{gathered} +\frac{b(5b-3)}{b^{2}y}=\frac{3b^2-5b-1+b(5b-3)}{b^{2}y}= \\ =\frac{3b^2-5b-1+5b^2-3b}{b^{2}y}=\frac{8b^2-8b-1}{b^{2}y} \end{gathered}$$

б) $\frac{a^2-a+1}{a^{3}x}-\frac{x^2-1}{a{x}^3}=\frac{x^2(a^2-a+1)-a^2(x^2-1)}{a^3{x}^3}=$

$=\frac{a^2{x}^2-a{x}^2+x^2-a^2{x}^2+a^2}{a^3{x}^3}=\frac{a^2-a{x}^2+x^2}{a^3{x}^3}$

в) $\frac{1+c}{c^3{y}^4}-\frac{c^3+y^4}{c^2{y}^8}=\frac{y^4(1+c)-c(c^3+y^4)}{c^3{y}^8}=$

$\frac{y^4+y^{4}c=c^4-c{y}^4}{c^3{y}^8}=\frac{y^4-c^4}{c^3{y}^8}$

г) $\frac{c^2+x^2}{c^2{x}^5}-\frac{c+x}{c^3{x}^3}=\frac{c(c^2+x^2)-x^2(c+x)}{c^3{x}^5}=$

$=\frac{c^3+c{x}^2-c{x}^2-x^3}{c^3{x}^5}=\frac{c^3-x^3}{c^3{x}^5}$

а) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{3b^2 - 5b - 1}{b^2y} + \frac{5b - 3}{by}$, необходимо привести их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $b^2y$ и $by$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — $b^2y$.
Для первой дроби знаменатель уже является общим. Для второй дроби $\frac{5b - 3}{by}$ дополнительный множитель равен $b$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $b$:
$\frac{5b - 3}{by} = \frac{(5b - 3) \cdot b}{by \cdot b} = \frac{5b^2 - 3b}{b^2y}$.
Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{3b^2 - 5b - 1}{b^2y} + \frac{5b^2 - 3b}{b^2y} = \frac{(3b^2 - 5b - 1) + (5b^2 - 3b)}{b^2y}$.
Сложим многочлены в числителе:
$3b^2 - 5b - 1 + 5b^2 - 3b = (3b^2 + 5b^2) + (-5b - 3b) - 1 = 8b^2 - 8b - 1$.
Результат:
$\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$.
Ответ: $\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a^2 - a + 1}{a^3x} - \frac{x^2 - 1}{ax^3}$, приведем их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $a^3x$ и $ax^3$. НОЗ для них — $a^3x^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{a^2 - a + 1}{a^3x}$ равен $x^2$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x^2 - 1}{ax^3}$ равен $a^2$.
$\frac{(a^2 - a + 1) \cdot x^2}{a^3x \cdot x^2} - \frac{(x^2 - 1) \cdot a^2}{ax^3 \cdot a^2} = \frac{a^2x^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3} - \frac{a^2x^2 - a^2}{a^3x^3}$.
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(a^2x^2 - ax^2 + x^2) - (a^2x^2 - a^2)}{a^3x^3} = \frac{a^2x^2 - ax^2 + x^2 - a^2x^2 + a^2}{a^3x^3}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(a^2x^2 - a^2x^2) - ax^2 + x^2 + a^2 = -ax^2 + x^2 + a^2$.
Результат (запишем слагаемые в стандартном порядке):
$\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$.
Ответ: $\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{1 + c}{c^3y^4} - \frac{c^3 + y^4}{c^2y^8}$, приведем их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $c^3y^4$ и $c^2y^8$. НОЗ для них — $c^3y^8$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $y^4$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $c$.
$\frac{(1 + c) \cdot y^4}{c^3y^4 \cdot y^4} - \frac{(c^3 + y^4) \cdot c}{c^2y^8 \cdot c} = \frac{y^4 + cy^4}{c^3y^8} - \frac{c^4 + cy^4}{c^3y^8}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(y^4 + cy^4) - (c^4 + cy^4)}{c^3y^8} = \frac{y^4 + cy^4 - c^4 - cy^4}{c^3y^8}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$y^4 + (cy^4 - cy^4) - c^4 = y^4 - c^4$.
Результат:
$\frac{y^4 - c^4}{c^3y^8}$.
Ответ: $\frac{y^4 - c^4}{c^3y^8}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{c^2 + x^2}{c^2x^5} - \frac{c + x}{c^3x^3}$, приведем их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $c^2x^5$ и $c^3x^3$. НОЗ для них — $c^3x^5$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $c$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $x^2$.
$\frac{(c^2 + x^2) \cdot c}{c^2x^5 \cdot c} - \frac{(c + x) \cdot x^2}{c^3x^3 \cdot x^2} = \frac{c^3 + cx^2}{c^3x^5} - \frac{cx^2 + x^3}{c^3x^5}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(c^3 + cx^2) - (cx^2 + x^3)}{c^3x^5} = \frac{c^3 + cx^2 - cx^2 - x^3}{c^3x^5}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$c^3 + (cx^2 - cx^2) - x^3 = c^3 - x^3$.
Результат:
$\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$.
Ответ: $\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$

231. Представьте в виде дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x+y+\frac{x-y}{4}=\frac{4(x+y)+x-y}{4}= \\ =\frac{4x+4y+x-y}{4}=\frac{5x+3y}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}m+n-\frac{1+mn}{n}=\frac{(m+n)n-(1+mn)}{n}= \\ =\frac{mn+n^2-1-mn}{n}=\frac{n^2-1}{n} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}a-\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}= \\ =\frac{a(a+b+c)-(ab+ac+bc)}{a+b+c}= \\ =\frac{a^2+\bcancel{ab}+\cancel{ac}-\bcancel{ab}-\cancel{ac}-bc}{a+b+c}=\frac{a^2-bc}{a+b+c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{a}^2-b^2-\frac{a^3-b^3}{a+b}= \\ =\frac{(a^2-b^2)(a+b)-(a^3-b^3)}{a+b}= \\ =\frac{{\bcancel{a}}^3+a^{2}b-a{b}^2-{\cancel{b}}^3-{\bcancel{a}}^3+{\cancel{b}}^3}{a+b}=\frac{a^{2}b-a{b}^2}{a+b} \end{gathered}$$

а) $x + y + \frac{x-y}{4}$

Чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель в данном случае равен 4. Представим $x$ как $\frac{4x}{4}$ и $y$ как $\frac{4y}{4}$.

$x + y + \frac{x-y}{4} = \frac{4x}{4} + \frac{4y}{4} + \frac{x-y}{4}$

Теперь, когда у всех слагаемых одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4x + 4y + (x-y)}{4} = \frac{4x + 4y + x - y}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x+x) + (4y-y)}{4} = \frac{5x + 3y}{4}$

Ответ: $\frac{5x + 3y}{4}$

б) $m + n - \frac{1+mn}{n}$

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $n$. Для этого представим $m$ как $\frac{mn}{n}$ и $n$ как $\frac{n^2}{n}$.

$m + n - \frac{1+mn}{n} = \frac{mn}{n} + \frac{n^2}{n} - \frac{1+mn}{n}$

Объединим все под одной дробной чертой. Обратим внимание, что знак "минус" перед последней дробью относится ко всему ее числителю, поэтому числитель нужно взять в скобки.

$\frac{mn + n^2 - (1+mn)}{n} = \frac{mn + n^2 - 1 - mn}{n}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{(mn-mn) + n^2 - 1}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}$

Ответ: $\frac{n^2 - 1}{n}$

в) $a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$

Для выполнения вычитания приведем уменьшаемое $a$ к общему знаменателю $a+b+c$.

$a = \frac{a(a+b+c)}{a+b+c} = \frac{a^2+ab+ac}{a+b+c}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a^2+ab+ac}{a+b+c} - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c} = \frac{(a^2+ab+ac) - (ab+ac+bc)}{a+b+c}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2+ab+ac-ab-ac-bc}{a+b+c} = \frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

Ответ: $\frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

г) $a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b}$

Приведем выражение $a^2 - b^2$ к общему знаменателю $a+b$.

$a^2 - b^2 = \frac{(a^2 - b^2)(a+b)}{a+b}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(a^2 - b^2)(a+b)}{a+b} - \frac{a^3-b^3}{a+b} = \frac{(a^2 - b^2)(a+b) - (a^3-b^3)}{a+b}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим $(a^2 - b^2)(a+b)$:

$(a^2 - b^2)(a+b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b - b^2 \cdot a - b^2 \cdot b = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

Подставим полученное выражение в числитель и упростим:

$\frac{(a^3 + a^2b - ab^2 - b^3) - (a^3-b^3)}{a+b} = \frac{a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 - a^3 + b^3}{a+b}$

$\frac{(a^3 - a^3) + ( -b^3 + b^3) + a^2b - ab^2}{a+b} = \frac{a^2b - ab^2}{a+b}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $ab$:

$\frac{ab(a-b)}{a+b}$

Ответ: $\frac{ab(a-b)}{a+b}$

232. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{mn+1}{m+n}+\frac{mn-1}{m-n}= \\ =\frac{(mn+1)(m-n)+(mn-1)(m+n)}{(m+n)(m-n)}= \\ =\frac{m^{2}n-m{n}^2+m-n+m^{2}n+m{n}^2-m-n}{(m+n)(m-n)}= \\ =\frac{2m^{2}n-2n}{(m+n)(m-n)}=\frac{2m^{2}n-2n}{m^2-n^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+4a}{3a+3x}-\frac{a-4x}{3a-3x}=\frac{x+4a}{3(a+x)}-\frac{a-4x}{3(a-x)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x+4a)(a-x)-(a-4x)(a+x)}{3(a+x)(a-x)}= \\ =\frac{ax-x^2+4a^2-4ax}{3(a+x)(a-x)}-\frac{a^2+ax-4ax-4x^2}{3(a+x)(a-x)}= \\ =\frac{ax-x^2+4a^2-4ax-a^2-ax+4ax+4x^2}{3(a+x)(a-x)}= \\ =\frac{3a^2+3x^2}{3(a+x)(a-x)}=\frac{3(a^2+x^2)}{3(a^2-x^2)}=\frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{mn+1}{m+n}$ и $\frac{mn-1}{m-n}$ равен произведению их знаменателей: $(m+n)(m-n) = m^2-n^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(m-n)$, а второй дроби — на $(m+n)$:

$\frac{mn+1}{m+n} + \frac{mn-1}{m-n} = \frac{(mn+1)(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{(mn-1)(m+n)}{(m-n)(m+n)}$

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{(mn+1)(m-n) + (mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(mn+1)(m-n) = mn \cdot m - mn \cdot n + 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n - mn^2 + m - n$

$(mn-1)(m+n) = mn \cdot m + mn \cdot n - 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n + mn^2 - m - n$

Сложим полученные выражения:

$(m^2n - mn^2 + m - n) + (m^2n + mn^2 - m - n) = m^2n + m^2n - mn^2 + mn^2 + m - m - n - n = 2m^2n - 2n$

Подставим полученный числитель обратно в дробь. Также можно вынести общий множитель $2n$ в числителе:

$\frac{2m^2n - 2n}{m^2-n^2} = \frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{2m^2n-2n}{m^2-n^2}$

б) Сначала упростим знаменатели, вынеся общий множитель 3:

$\frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x} = \frac{x+4a}{3(a+x)} - \frac{a-4x}{3(a-x)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $3(a+x)(a-x) = 3(a^2-x^2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-x)$, а второй дроби — на $(a+x)$:

$\frac{(x+4a)(a-x)}{3(a+x)(a-x)} - \frac{(a-4x)(a+x)}{3(a-x)(a+x)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(x+4a)(a-x) - (a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+4a)(a-x) = xa - x^2 + 4a^2 - 4ax = 4a^2 - 3ax - x^2$

$(a-4x)(a+x) = a^2 + ax - 4ax - 4x^2 = a^2 - 3ax - 4x^2$

Вычтем второе выражение из первого, обращая внимание на знаки:

$(4a^2 - 3ax - x^2) - (a^2 - 3ax - 4x^2) = 4a^2 - 3ax - x^2 - a^2 + 3ax + 4x^2 = (4a^2-a^2) + (-3ax+3ax) + (-x^2+4x^2) = 3a^2 + 3x^2$

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{3a^2 + 3x^2}{3(a^2-x^2)}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a^2 + x^2)}{3(a^2 - x^2)} = \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}$

Ответ: $\frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}$

233. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2y^2-y}{y^2-y+{\displaystyle \frac{1}{4}}}-\frac{2y^2+y}{y^2+y+{\displaystyle \frac{1}{4}}}-\frac{1}{y^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}= \\ =\frac{4(2y^2-y)}{4(y^2-y+{\displaystyle \frac{1}{4}})}-\frac{4(2y^2+y)}{4(y^2+y+{\displaystyle \frac{1}{4}})}-\frac{4}{4(y^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})}= \\ =\frac{8y^2-4y}{4y^2-4y+1}-\frac{8y^2+4y}{4y^2+4y+1}-\frac{4}{4y^2-1}= \\ =\frac{8y^2-4y}{(2y-1)}-\frac{8y^2+4y}{{(2y+1)}^2}-\frac{4}{(2y-1)(2y+1)}= \\ =\frac{\begin{array}{c}(8y^2-4y)(4y^2+4y+1)-(8y^2+\\ +4y){(2y-1)}^2-4(4y^2-1)\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}(8y^2-4y)(4y^2+4y+1)-(8y^2+4y)(4y^2-\\ -4y+1)-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}32y^4+32y^3+8y^2-16y^3-16y^2-4y-(32y^4+\\ +8y^2-32y^3+16y^3-16y^2+4y)-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}32y^4+16y^3-8y^2-4y-(32y^4-\\ -16y^3-8y^2+4y)-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}32y^4+16y^3-8y^2-4y-32y^4+16y^3+\\ +8y^2-4y-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{32y^3-16y^2-8y+4}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}=\frac{(32y^3-16y^2)-(8y-4)}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{16y^2(2y-1)-4(2y-1)}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}=\frac{(2y-1)(16y^2-4)}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{4(4y^2-1)}{(2y-1){(2y+1)}^2}=\frac{4(2y-1)(2y+1)}{(2y-1){(2y+1)}^2}=\frac{4}{2y+1} \end{gathered}$$

б) $\frac{6a}{2,5a^2-0,64}-\frac{8}{6a-3,2}$ =(опечатка в условии)

$$\begin{gathered} \frac{6a}{2,25a^2-0,64}-\frac{8}{6a-3,2}= \\ =\frac{6a}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}-\frac{8}{4(1,5a-0,8)}= \\ =\frac{6a}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}-\frac{2}{1,5a-0,8}= \\ =\frac{6a-2(1,5a+0,8)}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}= \\ =\frac{6a-3a-1,6}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}= \\ =\frac{3a-1,6}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}= \\ =\frac{2(1,5a-0,8)}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}=\frac{2}{1,5a+0,8}= \\ =\frac{2·10}{(1,5a+0,8)·10}=\frac{20}{15a+8} \end{gathered}$$

а) Упростим выражение $ \frac{2y^2 - y}{y^2 - y + \frac{1}{4}} - \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}} $.

1. Разложим на множители знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $ и разность квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.

• $ y^2 - y + \frac{1}{4} = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2 $
• $ y^2 + y + \frac{1}{4} = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y + \frac{1}{2})^2 $
• $ y^2 - \frac{1}{4} = y^2 - (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2}) $

2. Разложим на множители числители первых двух дробей:

• $ 2y^2 - y = y(2y - 1) = 2y(y - \frac{1}{2}) $
• $ 2y^2 + y = y(2y + 1) = 2y(y + \frac{1}{2}) $

3. Подставим разложенные выражения в исходное и сократим дроби:

$ \frac{2y(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})^2} - \frac{2y(y + \frac{1}{2})}{(y + \frac{1}{2})^2} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{2y}{y - \frac{1}{2}} - \frac{2y}{y + \frac{1}{2}} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

4. Приведем первые две дроби к общему знаменателю $ (y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2}) $ и выполним вычитание:

$ \frac{2y(y + \frac{1}{2}) - 2y(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{2y^2 + y - (2y^2 - y)}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y^2 + y - 2y^2 + y}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y}{y^2 - \frac{1}{4}} $

5. Теперь вычтем третью дробь:

$ \frac{2y}{y^2 - \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} $

6. Упростим полученное выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ \frac{2y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{2}{y + \frac{1}{2}} $

7. Избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2 \cdot 2}{(y + \frac{1}{2}) \cdot 2} = \frac{4}{2y + 1} $

Ответ: $ \frac{4}{2y + 1} $.

б) Упростим выражение $ \frac{6a}{2,5a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $.

В знаменателе первой дроби $ 2,5a^2 - 0,64 $ коэффициент при $ a^2 $ равен 2,5, что не является квадратом рационального числа. Это делает задачу нестандартной для школьного курса. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду $ 2,25a^2 $, так как $ 2,25 = 1,5^2 $. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное выражение: $ \frac{6a}{2,25a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $.

1. Разложим знаменатели на множители.

• Первый знаменатель — это разность квадратов: $ 2,25a^2 - 0,64 = (1,5a)^2 - (0,8)^2 = (1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8) $.
• Во втором знаменателе вынесем общий множитель 4: $ 6a - 3,2 = 4(1,5a - 0,8) $.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{8}{4(1,5a - 0,8)} $

3. Сократим вторую дробь на 4:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{2}{1,5a - 0,8} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $ (1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8) $:

$ \frac{6a - 2(1,5a + 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

5. Упростим числитель:

$ 6a - 2(1,5a + 0,8) = 6a - 3a - 1,6 = 3a - 1,6 $

6. Получаем дробь:

$ \frac{3a - 1,6}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

7. Вынесем в числителе общий множитель 2: $ 3a - 1,6 = 2(1,5a - 0,8) $.

8. Подставим и сократим дробь:

$ \frac{2(1,5a - 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} = \frac{2}{1,5a + 0,8} $

9. Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{2 \cdot 10}{(1,5a + 0,8) \cdot 10} = \frac{20}{15a + 8} $

Ответ: $ \frac{20}{15a + 8} $.

234. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю:

$$\begin{gathered} \frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}= \\ =\frac{c-a+b-c+a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0 \end{gathered}$$

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения равно нулю, необходимо его упростить. Основной шаг — приведение всех дробей к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} $$

Сначала определим область допустимых значений переменных. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно:

• $a - b \neq 0 \implies a \neq b$
• $b - c \neq 0 \implies b \neq c$
• $c - a \neq 0 \implies c \neq a$

Таким образом, переменные $a$, $b$ и $c$ должны быть попарно различны.

Общим знаменателем для всех трех дробей является произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(c-a)$, второй дроби — на $(b-c)$, и третьей дроби — на $(a-b)$:

$$ \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)} $$

Теперь мы можем сложить дроби, так как у них одинаковый знаменатель. Запишем сумму числителей над общим знаменателем:

$$ \frac{(c-a) + (b-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ c - a + b - c + a - b = (a - a) + (b - b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

Числитель дроби равен нулю. Таким образом, все выражение принимает вид:

$$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Поскольку мы работаем в области допустимых значений, где $a \neq b$, $b \neq c$ и $c \neq a$, знаменатель не равен нулю. Деление нуля на любое число, не равное нулю, дает в результате ноль.

Следовательно, значение исходного выражения равно нулю при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно 0.