Страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

210. Найдите значение дроби 3x² - xy + 6y²y² если x - yy= 2.

$\frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2},$ если $\frac{x-y}{y}=2;$ $x-y=2y;$ $x=3y$

$$\begin{gathered} \frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2}=\frac{3x^2-xy}{y^2}+\frac{6y^2}{y^2}= \\ =\frac{x(3x-y)}{y^2}+6_{ /x=3y}=\frac{3y(3·3y-y)}{y^2}+6= \\ =\frac{3y·8y}{y^2}+6=\frac{24y^2}{y^2}+6=24+6=30 \end{gathered}$$

Для решения этой задачи нам нужно найти значение выражения, используя данное условие. Существует несколько способов это сделать.

Способ 1: Выражение одной переменной через другую

Сначала преобразуем данное нам условие $\frac{x-y}{y} = 2$. Так как $y$ находится в знаменателе, мы можем заключить, что $y \neq 0$.

$x - y = 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y + y$

$x = 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходную дробь:

$\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2} = \frac{3(3y)^2 - (3y)y + 6y^2}{y^2}$

Упростим числитель:

$\frac{3(9y^2) - 3y^2 + 6y^2}{y^2} = \frac{27y^2 - 3y^2 + 6y^2}{y^2}$

Сложим и вычтем члены в числителе:

$\frac{(27 - 3 + 6)y^2}{y^2} = \frac{30y^2}{y^2}$

Поскольку $y \neq 0$, мы можем сократить дробь на $y^2$:

$\frac{30y^2}{y^2} = 30$

Способ 2: Преобразование дроби

Сначала преобразуем условие $\frac{x-y}{y} = 2$, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 2$

$\frac{x}{y} - 1 = 2$

$\frac{x}{y} = 3$

Теперь преобразуем дробь, которую нужно вычислить, разделив каждый член числителя на $y^2$:

$\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2} = \frac{3x^2}{y^2} - \frac{xy}{y^2} + \frac{6y^2}{y^2}$

Упростим каждый член:

$3(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} + 6$

Теперь подставим найденное значение $\frac{x}{y} = 3$ в полученное выражение:

$3(3)^2 - 3 + 6 = 3 \cdot 9 - 3 + 6 = 27 - 3 + 6 = 24 + 6 = 30$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $30$

211. Зная, что a + 2ba= 11, найдите значение дроби (a - 3b)²b².

$\frac{a+2b}{a}=11; a+2b=11a; 2b=10a; b=5a$

$$\begin{gathered} \frac{{(a-3b)}^2}{b^2}=\frac{{(a-3·5a)}^2}{{\left(5a\right)}^2}=\frac{{(a-15a)}^2}{25a^2}=\frac{{(-14a)}^2}{25a^2}= \\ =\frac{196a^2}{25a^2}=\frac{196}{25}=7\frac{21}{25} \end{gathered}$$

Дано равенство $\frac{a+2b}{a} = 11$. Из него следует, что $a \neq 0$. Преобразуем это равенство, чтобы найти соотношение между переменными $a$ и $b$.

Разделим числитель дроби на знаменатель почленно:

$\frac{a}{a} + \frac{2b}{a} = 11$

$1 + \frac{2b}{a} = 11$

Теперь вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{2b}{a} = 11 - 1$

$\frac{2b}{a} = 10$

Разделим обе части на 2, чтобы найти отношение $\frac{b}{a}$:

$\frac{b}{a} = 5$

Из этого следует, что $b \neq 0$, иначе $0=5$, что неверно. Так как $b \neq 0$, мы можем найти обратное отношение $\frac{a}{b}$:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$

Теперь рассмотрим выражение, значение которого необходимо найти: $\frac{(a-3b)^2}{b^2}$.

Мы можем преобразовать эту дробь, воспользовавшись свойством степени частного:

$\frac{(a-3b)^2}{b^2} = \left(\frac{a-3b}{b}\right)^2$

Разделим почленно выражение в скобках:

$\left(\frac{a}{b} - \frac{3b}{b}\right)^2 = \left(\frac{a}{b} - 3\right)^2$

Теперь подставим найденное ранее значение $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ в это выражение:

$\left(\frac{1}{5} - 3\right)^2$

Выполним вычитание в скобках, приведя число 3 к знаменателю 5:

$3 = \frac{3 \cdot 5}{5} = \frac{15}{5}$

$\left(\frac{1}{5} - \frac{15}{5}\right)^2 = \left(-\frac{14}{5}\right)^2$

Наконец, возведем полученную дробь в квадрат:

$\left(-\frac{14}{5}\right)^2 = \frac{(-14)^2}{5^2} = \frac{196}{25}$

Ответ: $\frac{196}{25}$

212. Найдите значение дроби:

a) $\frac{51+{17}^2}{10}=\frac{17(3+17)}{10}=\frac{17·20}{10}=17·2=34$

б) $\frac{{37}^2+111}{40}=\frac{37(37+3)}{40}=\frac{37·40}{40}=37$

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{51+17^2}{10}$, нужно выполнить действия в соответствии с порядком их выполнения: сначала возведение в степень, затем сложение в числителе, и в конце — деление на знаменатель.

1. Возведем в квадрат число 17:
$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$.

2. Выполним сложение в числителе:
$51 + 289 = 340$.

3. Разделим полученный результат на знаменатель:
$\frac{340}{10} = 34$.

Таким образом, полное решение выглядит так:
$\frac{51+17^2}{10} = \frac{51+289}{10} = \frac{340}{10} = 34$.

Ответ: 34.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{37^2+111}{40}$, действуем аналогично: сначала возведение в степень, затем сложение и деление.

1. Возведем в квадрат число 37:
$37^2 = 37 \cdot 37 = 1369$.

2. Выполним сложение в числителе:
$1369 + 111 = 1480$.

3. Разделим полученный результат на знаменатель:
$\frac{1480}{40} = \frac{148}{4} = 37$.

Таким образом, полное решение выглядит так:
$\frac{37^2+111}{40} = \frac{1369+111}{40} = \frac{1480}{40} = 37$.

Ответ: 37.

213. Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд вышел из А в В и шёл со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шёл со скоростью v км/ч. Поезда встретились через t ч после выхода первого поезда. Выразите v через t. Найдите скорость v при t = 7; при t = 6.

60t км - расстояние, которое прошёл 1-й поезд до встречи;

v(t-3) км - расстояние, которое прошёл 2-й поезд до встречи.

$$\begin{gathered} 60t+v(t-3)=600 \\ v(t-3)=600-60t \\ v=\frac{600-60t}{t-3}=\frac{60(10-t)}{t-3} \end{gathered}$$

t=7; $v=\frac{60·(10-7)}{7-3}=\frac{60·3}{4}=15·3=45 \left(\text{км/ч}\right)$

t=6; $v=\frac{60·(10-6)}{6-3}=\frac{60·4}{3}=20·4=80 \left(\text{км/ч}\right)$

Ответ: $v=\frac{60(10-t)}{t-3};$ 45км/ч; 80км/ч;

Выразите v через t.

Пусть $S$ — расстояние между городами А и В, равное 600 км. Скорость первого поезда $v_1 = 60$ км/ч. Скорость второго поезда $v_2 = v$ км/ч.

Первый поезд до момента встречи находился в пути $t$ часов. За это время он прошел расстояние $S_1$, которое можно рассчитать по формуле: $S_1 = v_1 \cdot t = 60t$ км.

Второй поезд вышел на 3 часа позже первого, следовательно, до момента встречи он находился в пути $(t - 3)$ часа. Пройденное им расстояние $S_2$ равно: $S_2 = v \cdot (t - 3)$ км.

Поскольку поезда двигались навстречу друг другу, в момент встречи сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между городами A и B: $S_1 + S_2 = S$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в уравнение: $60t + v(t - 3) = 600$

Теперь выразим из этого уравнения скорость второго поезда $v$: $v(t - 3) = 600 - 60t$
$v = \frac{600 - 60t}{t - 3}$

Ответ: $v = \frac{600 - 60t}{t - 3}$.

Найдите скорость v при t = 7; при t = 6.

Используем полученную формулу для нахождения скорости $v$ при заданных значениях времени $t$.

1. При $t = 7$ ч:
Подставляем значение $t=7$ в формулу: $v = \frac{600 - 60 \cdot 7}{7 - 3} = \frac{600 - 420}{4} = \frac{180}{4} = 45$ (км/ч).

2. При $t = 6$ ч:
Подставляем значение $t=6$ в формулу: $v = \frac{600 - 60 \cdot 6}{6 - 3} = \frac{600 - 360}{3} = \frac{240}{3} = 80$ (км/ч).

Ответ: при $t=7$ скорость $v$ равна 45 км/ч; при $t=6$ скорость $v$ равна 80 км/ч.

214. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

a) $\frac{3x-8}{25}$

Ответ: все числа

б) $\frac{37}{2y+7}$

$$\begin{gathered} 2y+7\ne 0 \\ 2y\ne -7 \\ y\ne -3,5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -3,5

в) $\frac{9}{x^2-7x}$

$$\begin{gathered} x^2-7x\ne 0 \\ x(x-7)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-7\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме 0 и 7

г) $\frac{2y+5}{y^2+8}$

$y^2+8>0$ при любых значениях y

Ответ: все числа

д) $\frac{12}{\left|x\right|-3}$

$$\begin{gathered} \left|x\right|-3\ne 0 \\ \left|x\right|\ne 3 \\ x\ne 3 \\ x\ne -3 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -3 и 3

e) $\frac{45}{\left|y\right|+2}$
$\left|y\right|+2\ne 0$
$\left|y\right|\ne -2$ при любых y

Ответ: все числа

а)

Данное выражение $\frac{3x - 8}{25}$ является дробью, знаменатель которой — число 25. Допустимые значения переменной (ОДЗ) для дроби — это все значения, при которых знаменатель не равен нулю. Так как знаменатель является константой $25$ и $25 \neq 0$, то выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

б)

В выражении $\frac{37}{2y + 7}$ знаменатель дроби зависит от переменной $y$. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$2y + 7 = 0$
$2y = -7$
$y = -\frac{7}{2}$
$y = -3.5$
Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все действительные числа, кроме $-3.5$.

Ответ: все числа, кроме $y = -3.5$.

в)

В выражении $\frac{9}{x^2 - 7x}$ знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$.
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 7) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 7 = 0$
$x = 0$ или $x = 7$
Таким образом, переменная $x$ не может принимать значения 0 и 7.

Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = 7$.

г)

В выражении $\frac{2y + 5}{y^2 + 8}$ найдем значения $y$, при которых знаменатель $y^2 + 8$ равен нулю.
$y^2 + 8 = 0$
$y^2 = -8$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение $y^2 = -8$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $y^2 + 8$ никогда не равен нулю. Фактически, так как $y^2 \ge 0$, то $y^2 + 8 \ge 8$.
Поэтому выражение определено для любых значений $y$.

Ответ: $y$ - любое число.

д)

В выражении $\frac{12}{|x| - 3}$ знаменатель $|x| - 3$ не должен быть равен нулю.
$|x| - 3 \neq 0$
$|x| \neq 3$
Модуль числа равен 3, если само число равно 3 или -3.
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 3 и -3.

Ответ: все числа, кроме $x = 3$ и $x = -3$.

е)

В выражении $\frac{45}{|y| + 2}$ знаменатель $|y| + 2$ не должен быть равен нулю.
$|y| + 2 \neq 0$
Модуль любого действительного числа $|y|$ является неотрицательной величиной, то есть $|y| \ge 0$.
Следовательно, сумма $|y| + 2$ всегда будет больше или равна 2: $|y| + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Поскольку знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю, выражение определено для любых значений переменной $y$.

Ответ: $y$ - любое число.

215. Составьте какую-либо дробь с переменной х, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме:

a) $\frac{5x}{x-2}$

б) $\frac{2x^2-1}{x^2-3x}$

в) $\frac{8x+9}{x^2-9}$

г) $\frac{125-x}{4x^2-1}$

Дробь имеет смысл тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Следовательно, чтобы составить дробь, которая не имеет смысла при заданных значениях x, необходимо сконструировать знаменатель, который обращается в ноль именно при этих значениях. В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1.

а) x = 2;
Знаменатель должен быть равен нулю при $x = 2$. Простейшее выражение, удовлетворяющее этому условию — это $x - 2$.
Ответ: $ \frac{1}{x - 2} $

б) x = 0 и x = 3;
Знаменатель должен обращаться в ноль при $x = 0$ и при $x = 3$. Для этого он должен содержать множители $(x - 0)$ и $(x - 3)$. Их произведение дает нам искомый знаменатель: $x(x - 3) = x^2 - 3x$.
Ответ: $ \frac{1}{x(x - 3)} $

в) x = -3 и x = 3;
Знаменатель должен быть равен нулю при $x = -3$ и $x = 3$. Он должен содержать множители $(x - (-3))$ и $(x - 3)$, то есть $(x + 3)$ и $(x - 3)$. Их произведение по формуле разности квадратов равно $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Ответ: $ \frac{1}{x^2 - 9} $

г) x = $-\frac{1}{2}$ и x = $\frac{1}{2}$.
Знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$. Соответствующие множители: $(x + \frac{1}{2})$ и $(x - \frac{1}{2})$. Их произведение: $(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2}) = x^2 - \frac{1}{4}$. Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, можно домножить это выражение на 4, получив $4x^2 - 1$, что также обращается в ноль при тех же значениях x.
Ответ: $ \frac{1}{4x^2 - 1} $

216. Укажите область определения функции:

a) $y=\frac{1}{x-2}$

$$\begin{gathered} x-2\ne 0 \\ x\ne 2 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме 2

б) $y=\frac{3x}{x+5}$

$$\begin{gathered} x+5\ne 0 \\ x\ne -5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -5

в) $y=\frac{7x+1}{2x-6}$

$$\begin{gathered} 2x-6\ne 0 \\ 2x\ne 6 \\ x\ne 3 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме 3

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Для данных дробно-рациональных функций необходимо, чтобы их знаменатели не обращались в ноль, так как деление на ноль не определено.

а) Для функции $y = \frac{1}{x-2}$, найдем значение $x$, при котором знаменатель $x-2$ равен нулю.
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.
Ответ: область определения функции — все числа, кроме 2, что можно записать в виде $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Для функции $y = \frac{3x}{x+5}$, найдем значение $x$, при котором знаменатель $x+5$ равен нулю.
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=-5$.
Ответ: область определения функции — все числа, кроме -5, что можно записать в виде $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{7x+1}{2x-6}$, найдем значение $x$, при котором знаменатель $2x-6$ равен нулю.
$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2} = 3$
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=3$.
Ответ: область определения функции — все числа, кроме 3, что можно записать в виде $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

217. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{\overline{a0a0}}{101}=\frac{1000a+0+10a+0}{101}= \\ =\frac{10a(100+1)}{101}=\frac{10a·101}{101}=10a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\overline{a00a}}{91}=\frac{1000a+a}{91}=\frac{a(1000+1)}{91}= \\ =\frac{a·1001}{91}=11a \end{gathered}$$

а)

В числителе дроби стоит запись $\overline{a0a00}$, которая обозначает пятизначное число. Цифра a не может быть нулем, так как она является первой цифрой числа. Для того чтобы сократить дробь, представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{a0a00} = a \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$

Выполнив умножение, получим:

$\overline{a0a00} = 10000a + 100a = 10100a$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{\overline{a0a00}}{101} = \frac{10100a}{101}$.

Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель на знаменатель. Заметим, что $10100 = 101 \cdot 100$.

Следовательно, можем выполнить сокращение:

$\frac{101 \cdot 100 \cdot a}{101} = 100a$.

Ответ: $100a$.

б)

В числителе дроби стоит запись $\overline{a00a}$, которая обозначает четырехзначное число, где a — ненулевая цифра. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{a00a} = a \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$

$\overline{a00a} = 1000a + a = 1001a$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\overline{a00a}}{91} = \frac{1001a}{91}$.

Для сокращения дроби проверим, делится ли число 1001 на 91. Мы можем разложить 1001 на множители. Известно, что $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$. Знаменатель 91 также можно разложить на множители: $91 = 7 \cdot 13$.

Теперь сократим дробь, используя эти разложения:

$\frac{1001a}{91} = \frac{(7 \cdot 11 \cdot 13)a}{7 \cdot 13}$.

Сократив общие множители 7 и 13 в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{(\cancel{7} \cdot 11 \cdot \cancel{13})a}{\cancel{7} \cdot \cancel{13}} = 11a$.

Ответ: $11a$.

218. Сократите дробь:

a) $\frac{{(3a-3c)}^2}{9a^2-9c^2}=\frac{(3{(a-c))}^2}{9(a^2-c^2)}=\frac{9{(a-c)}^2}{9(a-c)(a+c)}=\frac{a-c}{a+c}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(a^2-9)}^2}{{(3-a)}^3}=\frac{\left(\right(a-3){(a+3))}^2}{{(3-a)}^3}= \\ =\frac{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}{{(3-a)}^3}=\frac{{(3-a)}^2{(a+3)}^2}{{(3-a)}^3}=\frac{{(a+3)}^2}{3-a} \end{gathered}$$

в) $\frac{8y^3-1}{y-4y^3}=\frac{(2y-1)(4y^2+2y+1)}{y(1-4y^2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(2y-1)(4y^2+2y+1)}{y(1-2y)(1+2y)}= \\ =\frac{-(1-2y)(4y^2+2y+1)}{y(1-2y)(1+2y)}=-\frac{4y^2+2y+1}{y+2y^2} \end{gathered}$$

г) $\frac{5a^2-3ab}{a^2-0,36b^2}=\frac{a(5a-3b)}{(a-0,6b)(a+0,6b)}=$

$$\begin{gathered} \frac{5a(a-0,6b)}{(a-0,6b)(a+0,6b)}=\frac{5a}{a+0,6b}=\frac{5·5a}{5(a+0,6b)}= \\ =\frac{25a}{5a+3b} \end{gathered}$$

а) Исходная дробь: $\frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2}$.
Сначала упростим числитель. Вынесем общий множитель 3 за скобки внутри квадрата:
$(3a - 3c)^2 = (3(a - c))^2 = 3^2 \cdot (a - c)^2 = 9(a - c)^2$.
Теперь упростим знаменатель. Вынесем общий множитель 9 за скобки и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$9a^2 - 9c^2 = 9(a^2 - c^2) = 9(a - c)(a + c)$.
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{9(a - c)^2}{9(a - c)(a + c)}$.
Сократим общие множители 9 и $(a - c)$:
$\frac{\cancel{9}(a - c)^{\cancel{2}}}{\cancel{9}\cancel{(a - c)}(a + c)} = \frac{a - c}{a + c}$.
Ответ: $\frac{a - c}{a + c}$

б) Исходная дробь: $\frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3}$.
Упростим числитель. Выражение $a^2 - 9$ является разностью квадратов $a^2 - 3^2$, которую разложим на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.
Тогда числитель равен:
$(a^2 - 9)^2 = ((a - 3)(a + 3))^2 = (a - 3)^2(a + 3)^2$.
Теперь рассмотрим знаменатель. Заметим, что $(3 - a) = -(a - 3)$.
Тогда знаменатель равен:
$(3 - a)^3 = (-(a - 3))^3 = (-1)^3(a - 3)^3 = -(a - 3)^3$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{(a - 3)^2(a + 3)^2}{-(a - 3)^3}$.
Сократим общий множитель $(a - 3)^2$:
$\frac{\cancel{(a - 3)^2}(a + 3)^2}{-(a - 3)^{\cancel{3}}} = \frac{(a + 3)^2}{-(a - 3)} = -\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$.
Ответ: $-\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$

в) Исходная дробь: $\frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3}$.
Упростим числитель. Выражение $8y^3 - 1$ является разностью кубов $(2y)^3 - 1^3$. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$:
$8y^3 - 1 = (2y - 1)((2y)^2 + 2y \cdot 1 + 1^2) = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.
Теперь упростим знаменатель. Вынесем общий множитель $y$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов:
$y - 4y^3 = y(1 - 4y^2) = y(1^2 - (2y)^2) = y(1 - 2y)(1 + 2y)$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 - 2y)(1 + 2y)}$.
Заметим, что $(2y - 1) = -(1 - 2y)$. Заменим это в числителе:
$\frac{-(1 - 2y)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 - 2y)(1 + 2y)}$.
Сократим общий множитель $(1 - 2y)$:
$\frac{-\cancel{(1 - 2y)}(4y^2 + 2y + 1)}{y\cancel{(1 - 2y)}(1 + 2y)} = -\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(1 + 2y)}$.
Ответ: $-\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)}$

г) Исходная дробь: $\frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0.36b^2}$.
Упростим числитель, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$5a^2 - 3ab = a(5a - 3b)$.
Теперь упростим знаменатель. Выражение $a^2 - 0.36b^2$ является разностью квадратов, так как $0.36b^2 = (0.6b)^2$. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 0.36b^2 = (a - 0.6b)(a + 0.6b)$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{a(5a - 3b)}{(a - 0.6b)(a + 0.6b)}$.
Чтобы найти общий множитель, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0.6 = \frac{3}{5}$.
Вынесем $\frac{1}{5}$ за скобки в первом множителе знаменателя: $a - 0.6b = a - \frac{3}{5}b = \frac{1}{5}(5a - 3b)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{a(5a - 3b)}{\frac{1}{5}(5a - 3b)(a + 0.6b)}$.
Сократим общий множитель $(5a - 3b)$:
$\frac{a\cancel{(5a - 3b)}}{\frac{1}{5}\cancel{(5a - 3b)}(a + 0.6b)} = \frac{a}{\frac{1}{5}(a + 0.6b)} = \frac{5a}{a + 0.6b}$.
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, представим $0.6b$ как $\frac{3}{5}b$ и умножим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5a}{a + \frac{3}{5}b} = \frac{5a \cdot 5}{(a + \frac{3}{5}b) \cdot 5} = \frac{25a}{5a + 3b}$.
Ответ: $\frac{25a}{5a + 3b}$