Номер 211, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 211, страница 56.

211. Зная, что a + 2ba= 11, найдите значение дроби (a - 3b)²b².

$\frac{a+2b}{a}=11; a+2b=11a; 2b=10a; b=5a$

$$\begin{gathered} \frac{{(a-3b)}^2}{b^2}=\frac{{(a-3·5a)}^2}{{\left(5a\right)}^2}=\frac{{(a-15a)}^2}{25a^2}=\frac{{(-14a)}^2}{25a^2}= \\ =\frac{196a^2}{25a^2}=\frac{196}{25}=7\frac{21}{25} \end{gathered}$$

Дано равенство $\frac{a+2b}{a} = 11$. Из него следует, что $a \neq 0$. Преобразуем это равенство, чтобы найти соотношение между переменными $a$ и $b$.

Разделим числитель дроби на знаменатель почленно:

$\frac{a}{a} + \frac{2b}{a} = 11$

$1 + \frac{2b}{a} = 11$

Теперь вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{2b}{a} = 11 - 1$

$\frac{2b}{a} = 10$

Разделим обе части на 2, чтобы найти отношение $\frac{b}{a}$:

$\frac{b}{a} = 5$

Из этого следует, что $b \neq 0$, иначе $0=5$, что неверно. Так как $b \neq 0$, мы можем найти обратное отношение $\frac{a}{b}$:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$

Теперь рассмотрим выражение, значение которого необходимо найти: $\frac{(a-3b)^2}{b^2}$.

Мы можем преобразовать эту дробь, воспользовавшись свойством степени частного:

$\frac{(a-3b)^2}{b^2} = \left(\frac{a-3b}{b}\right)^2$

Разделим почленно выражение в скобках:

$\left(\frac{a}{b} - \frac{3b}{b}\right)^2 = \left(\frac{a}{b} - 3\right)^2$

Теперь подставим найденное ранее значение $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ в это выражение:

$\left(\frac{1}{5} - 3\right)^2$

Выполним вычитание в скобках, приведя число 3 к знаменателю 5:

$3 = \frac{3 \cdot 5}{5} = \frac{15}{5}$

$\left(\frac{1}{5} - \frac{15}{5}\right)^2 = \left(-\frac{14}{5}\right)^2$

Наконец, возведем полученную дробь в квадрат:

$\left(-\frac{14}{5}\right)^2 = \frac{(-14)^2}{5^2} = \frac{196}{25}$

Ответ: $\frac{196}{25}$