Номер 206, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 206, страница 55.

206. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:

а) 5x + y – xy = 2;

б) xy – x + y = 8.

a) $5x+y-xy=2$

$$\begin{gathered} 5x-xy=2-y \\ x(5-y)=2-y \\ x=\frac{2-y}{5-y} \\ x=\frac{y-2}{y-5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=\frac{y-2-3+3}{y-5}=\frac{y-5+3}{y-5}=\frac{y-5}{y-5}+\frac{3}{y-5}= \\ =1+\frac{3}{y-5} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{3}{y-5}$является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} y-5=1; \\ y=6 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-5=-1; \\ y=4 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-5=3; \\ y=8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-5=-3; \\ y=2 \end{gathered}$$

$y=6; x=1+\frac{3}{6-5}=1+3=4; (4;6)$

$y=4; x=1+\frac{3}{4-5}=1-3=-2; (-2;4)$

$y=8; x=1+\frac{3}{8-5}=1+1=2; (2;8)$

$y=2; x=1+\frac{3}{2-5}=1-1=0; (0;2)$

Ответ: (4;6), (-2;4), (2;8), (0;2)

б) $xy-x+y=8$

$$\begin{gathered} 5x-xy=2-y \\ x(y-1)=8-y \\ x=\frac{8-y}{y-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=\frac{-y+1+7}{y-1}=\frac{-(y-1)+7}{y-1}=\frac{-(y-1)}{y-1}+\frac{7}{y-1}= \\ =-1+\frac{7}{y-1} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{7}{y-1}$является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} y-1=1; \\ y=2; \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-1=-1; \\ y=0 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-1=7; \\ y=8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-1=-7; \\ y=-6 \end{gathered}$$

$y=2; x=-1+\frac{7}{2-1}=-1+7=6; (6;2)$

$y=0; x=-1+\frac{7}{0-1}=-1-7=-8; (-8;0)$

$y=8; x=-1+\frac{7}{8-1}=-1+1=0; (0;8)$

$y=-6; x=-1+\frac{7}{-6-1}=-1-1=-2; (-2;-6)$

Ответ: (6;2), (-8;0), (0;8), (-2;-6)

а)

Дано уравнение $5x + y - xy = 2$, где $x$ и $y$ — целые числа.

Для решения этого уравнения в целых числах преобразуем его, чтобы можно было разложить на множители. Перенесем все члены в одну сторону и изменим знаки для удобства:

$xy - 5x - y = -2$

Теперь применим метод группировки. Чтобы разложить на множители выражение $xy - 5x - y$, добавим и вычтем такое число, чтобы можно было вынести общий множитель. Сгруппируем первые два члена и вынесем $x$:

$x(y - 5) - y = -2$

Чтобы из оставшейся части $-y$ получить множитель $(y-5)$, нам нужно прибавить 5:

$x(y - 5) - y + 5 - 5 = -2$

$x(y - 5) - (y - 5) - 5 = -2$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(y - 5)$:

$(x - 1)(y - 5) = -2 + 5$

$(x - 1)(y - 5) = 3$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 1)$ и $(y - 5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3. Следовательно, они должны быть делителями числа 3. Целочисленные делители числа 3 это: $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные пары целочисленных множителей числа 3:

1. Если $x - 1 = 1$ и $y - 5 = 3$, то $x = 1 + 1 = 2$ и $y = 3 + 5 = 8$. Пара $(2, 8)$.
2. Если $x - 1 = 3$ и $y - 5 = 1$, то $x = 3 + 1 = 4$ и $y = 1 + 5 = 6$. Пара $(4, 6)$.
3. Если $x - 1 = -1$ и $y - 5 = -3$, то $x = -1 + 1 = 0$ и $y = -3 + 5 = 2$. Пара $(0, 2)$.
4. Если $x - 1 = -3$ и $y - 5 = -1$, то $x = -3 + 1 = -2$ и $y = -1 + 5 = 4$. Пара $(-2, 4)$.

Таким образом, мы нашли все возможные пары целых чисел.

Ответ: $(2, 8), (4, 6), (0, 2), (-2, 4)$.

б)

Дано уравнение $xy - x + y = 8$, где $x$ и $y$ — целые числа.

Как и в предыдущем пункте, преобразуем уравнение для разложения на множители. Для этого добавим к обеим частям уравнения $-1$:

$xy - x + y - 1 = 8 - 1$

Теперь сгруппируем члены и вынесем общие множители:

$x(y - 1) + 1(y - 1) = 7$

$(x + 1)(y - 1) = 7$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(x + 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Число 7 является простым, поэтому его целочисленные делители: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все возможные пары целочисленных множителей числа 7:

1. Если $x + 1 = 1$ и $y - 1 = 7$, то $x = 1 - 1 = 0$ и $y = 7 + 1 = 8$. Пара $(0, 8)$.
2. Если $x + 1 = 7$ и $y - 1 = 1$, то $x = 7 - 1 = 6$ и $y = 1 + 1 = 2$. Пара $(6, 2)$.
3. Если $x + 1 = -1$ и $y - 1 = -7$, то $x = -1 - 1 = -2$ и $y = -7 + 1 = -6$. Пара $(-2, -6)$.
4. Если $x + 1 = -7$ и $y - 1 = -1$, то $x = -7 - 1 = -8$ и $y = -1 + 1 = 0$. Пара $(-8, 0)$.

Мы получили все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Ответ: $(0, 8), (6, 2), (-2, -6), (-8, 0)$.