Номер 203, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 203, страница 55.

203. Представьте дробь $\frac{4x + 3}{x² - 1}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями x – 1 и x + 1.

$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{ax+a+bx-b}{(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{(ax+bx)+(a-b)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(a+b)x+(a-b)}{(x-1)(x+1)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{c}a+b=x\\ a-b=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2a=7\\ a+b=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=3,5\\ 3,5+b=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=3,5\\ b=0,5\end{array}\right.$

$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{3,5}{x-1}+\frac{0,5}{x+1}$

Чтобы представить дробь $\frac{4x+3}{x^2-1}$ в виде суммы двух дробей, нужно разложить ее на простейшие дроби.

Шаг 1: Разложим знаменатель исходной дроби на множители. Знаменатель $x^2-1$ является разностью квадратов, поэтому:

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Шаг 2: Представим исходную дробь в виде суммы двух дробей с этими знаменателями и неизвестными числителями $A$ и $B$.

$\frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

Шаг 3: Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$.

$\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{B(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Шаг 4: Приравняем числитель полученной дроби к числителю исходной дроби.

$4x+3 = A(x+1) + B(x-1)$

Шаг 5: Найдем значения $A$ и $B$. Для этого можно использовать метод частных значений, подставляя в равенство корни знаменателя $x=1$ и $x=-1$.

При $x=1$:

$4(1)+3 = A(1+1) + B(1-1)$

$7 = A \cdot 2 + B \cdot 0$

$7 = 2A$

$A = \frac{7}{2}$

При $x=-1$:

$4(-1)+3 = A(-1+1) + B(-1-1)$

$-1 = A \cdot 0 + B \cdot (-2)$

$-1 = -2B$

$B = \frac{1}{2}$

Шаг 6: Подставим найденные значения $A$ и $B$ в разложение.

$\frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{7/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}$

Это можно записать в более удобном виде:

$\frac{7}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы двух дробей со знаменателями $x-1$ и $x+1$.

Ответ: $\frac{7}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$