Номер 2, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 2, страница 52.

2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.

2. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби. Результат возведения числителя в степень становится новым числителем, а результат возведения знаменателя в степень — новым знаменателем.

Это правило можно записать в виде общей формулы. Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ (где знаменатель $ b \neq 0 $) и любого натурального числа $ n $ справедливо следующее равенство:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $

Пример 1: Возведение числовой дроби в степень

Возведем дробь $ \frac{2}{3} $ в четвертую степень:

$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $

Пример 2: Возведение дроби с переменными в степень

Возведем дробь $ \frac{x}{y} $ в пятую степень (при условии, что $ y \neq 0 $):

$ \left(\frac{x}{y}\right)^5 = \frac{x^5}{y^5} $

Правило для отрицательного показателя степени

Если показатель степени — отрицательное целое число (например, $ -n $), то дробь следует "перевернуть" (заменить на обратную), а показатель степени сделать положительным:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} $ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $)

Пример 3: Возведение в отрицательную степень

Возведем дробь $ \frac{4}{5} $ в степень $ -2 $:

$ \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень её числитель и знаменатель по отдельности, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель. В виде формулы: $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $ (при $ b \neq 0 $).