Страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

200. Упростите выражение

$$\begin{gathered} \left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}-\frac{12}{4-x^2}\right):\frac{x+7}{x-2}= \\ =\left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}+\frac{12}{x^2-4}\right):\frac{x+7}{x-2}= \\ =\frac{3(x-2)-(x+2)+12}{(x+2)(x+2)}·\frac{x-2}{x+7}= \\ =\frac{3x-6-x-2+12}{(x+2)(x+7)}= \\ =\frac{2x+4}{(x+2)(x+7)}=\frac{2(x+2)}{(x+2)(x+7)}=\frac{2}{x+7} \end{gathered}$$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, а затем выполним деление.

Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2}\right) $. Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем знаменатель третьей дроби. Используя формулу разности квадратов, получаем $ 4-x^2 = (2-x)(2+x) $. Для удобства вынесем минус за скобки: $ 4-x^2 = -(x-2)(x+2) $.

Теперь перепишем выражение в скобках:

$ \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{-(x-2)(x+2)} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель для дробей — $ (x+2)(x-2) $. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$ \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{1(x+2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{12}{(x+2)(x-2)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{3(x-2) - (x+2) + 12}{(x+2)(x-2)} = \frac{3x - 6 - x - 2 + 12}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x + 4}{(x+2)(x-2)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$ \frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2}{x-2} $

Выполнение деления

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{2}{x-2} : \frac{x+7}{x-2} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{2}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+7} $

Сократим общий множитель $ (x-2) $:

$ \frac{2}{x+7} $

Ответ: $ \frac{2}{x+7} $

1. Сформулируйте правила умножения и деления дробей.

1. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать в числителе, а второе — в знаменателе дроби.

$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$

Умножение дробей

Для того чтобы умножить одну обыкновенную дробь на другую, следует перемножить их числители и результат записать в числитель новой дроби, а затем перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель новой дроби.

Общая формула умножения дробей выглядит следующим образом:
$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $

Перед выполнением умножения рекомендуется, если это возможно, сократить числитель одной дроби и знаменатель другой на их общие делители, чтобы упростить вычисления.

Пример 1 (без сокращения):
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 7} = \frac{8}{35} $

Пример 2 (с предварительным сокращением):
$ \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{9} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{8}^2} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}^3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $

Ответ: Произведением двух дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

Деление дробей

Для того чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Обратной называется дробь, у которой числитель и знаменатель поменялись местами.

Общая формула деления дробей выглядит следующим образом:
$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $

Таким образом, операция деления дробей заменяется на умножение, которое выполняется по соответствующему правилу.

Пример 1 (без сокращения):
$ \frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15} $

Пример 2 (с предварительным сокращением):
$ \frac{4}{5} \div \frac{8}{15} = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{8} = \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{15}^3}{\cancel{8}^2} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{3} $

Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень.

2. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби. Результат возведения числителя в степень становится новым числителем, а результат возведения знаменателя в степень — новым знаменателем.

Это правило можно записать в виде общей формулы. Для любой дроби $ \frac{a}{b} $ (где знаменатель $ b \neq 0 $) и любого натурального числа $ n $ справедливо следующее равенство:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $

Пример 1: Возведение числовой дроби в степень

Возведем дробь $ \frac{2}{3} $ в четвертую степень:

$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $

Пример 2: Возведение дроби с переменными в степень

Возведем дробь $ \frac{x}{y} $ в пятую степень (при условии, что $ y \neq 0 $):

$ \left(\frac{x}{y}\right)^5 = \frac{x^5}{y^5} $

Правило для отрицательного показателя степени

Если показатель степени — отрицательное целое число (например, $ -n $), то дробь следует "перевернуть" (заменить на обратную), а показатель степени сделать положительным:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} $ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $)

Пример 3: Возведение в отрицательную степень

Возведем дробь $ \frac{4}{5} $ в степень $ -2 $:

$ \left(\frac{4}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} $

Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень её числитель и знаменатель по отдельности, и первый результат записать в числитель, а второй — в знаменатель. В виде формулы: $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $ (при $ b \neq 0 $).

3. Какая функция называется обратной пропорциональностью?

3. Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y=\frac{k}{x},$ где х - независимая переменная и k - не равное нулю число.

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ — не равное нулю число, которое называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Из определения следует, что переменная $y$ прямо пропорциональна величине, обратной $x$, то есть $\frac{1}{x}$. Основное свойство этой функции заключается в том, что произведение соответствующих значений аргумента и функции постоянно и равно коэффициенту $k$:

$xy = k$

Это означает, что при увеличении абсолютного значения аргумента $x$ в несколько раз, соответствующее абсолютное значение функции $y$ уменьшается во столько же раз, и наоборот.

Ключевые характеристики функции:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x=0$. Это записывается как $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Все действительные числа, кроме $y=0$. Это записывается как $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• График: Графиком обратной пропорциональности является кривая линия, называемая гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
  • Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
  • Если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Примеры из жизни:

• Зависимость скорости $v$ от времени $t$ при движении на фиксированное расстояние $S$: $v = \frac{S}{t}$.
• Зависимость давления газа $P$ от его объема $V$ при постоянной температуре (закон Бойля — Мариотта): $P = \frac{\text{const}}{V}$.

Ответ: Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — число, не равное нулю ($k \neq 0$).

4. В каких координатных четвертях расположен график функции y = kx при k > 0? при k ‹ 0?

4. График функции $y=\frac{k}{x}$ при k>0 расположен в первой и третьей координатных четвертях.

График функции $y=\frac{k}{x}$ при k<0 расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Данная задача рассматривает расположение графика функции обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ в зависимости от знака коэффициента $k$. Графиком этой функции является гипербола, состоящая из двух ветвей.

Для определения координатных четвертей необходимо проанализировать знаки переменных $x$ и $y$. Вспомним знаки координат по четвертям:

• I четверть (верхняя правая): $x > 0$, $y > 0$
• II четверть (верхняя левая): $x < 0$, $y > 0$
• III четверть (нижняя левая): $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть (нижняя правая): $x > 0$, $y < 0$

при $k > 0$?

В этом случае коэффициент $k$ является положительным числом.

1. Пусть $x > 0$. Тогда значение $y = \frac{k}{x}$ будет результатом деления положительного числа ($k$) на положительное число ($x$). Результат будет положительным, то есть $y > 0$. Условиям $x > 0$ и $y > 0$ соответствует I координатная четверть.

2. Пусть $x < 0$. Тогда значение $y = \frac{k}{x}$ будет результатом деления положительного числа ($k$) на отрицательное число ($x$). Результат будет отрицательным, то есть $y < 0$. Условиям $x < 0$ и $y < 0$ соответствует III координатная четверть.

Таким образом, если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях.

Ответ: в I и III четвертях.

при $k < 0$?

В этом случае коэффициент $k$ является отрицательным числом.

1. Пусть $x > 0$. Тогда значение $y = \frac{k}{x}$ будет результатом деления отрицательного числа ($k$) на положительное число ($x$). Результат будет отрицательным, то есть $y < 0$. Условиям $x > 0$ и $y < 0$ соответствует IV координатная четверть.

2. Пусть $x < 0$. Тогда значение $y = \frac{k}{x}$ будет результатом деления отрицательного числа ($k$) на отрицательное число ($x$). Результат будет положительным, то есть $y > 0$. Условиям $x < 0$ и $y > 0$ соответствует II координатная четверть.

Таким образом, если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях.

Ответ: во II и IV четвертях.