Страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

201. При каких значениях a и b равенство является тождеством?

$$\begin{gathered} \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2} \\ \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{ax-2a+bx-b}{(x-1)(x-2)}=\frac{(ax+bx)+(-2a-b)}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{(a+b)x+(-2a-b)}{(x-1)(x-2)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{c}a+b=6\\ -2a-b=0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}-a=6\\ a+b=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=-6\\ -6+b=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=6\\ b=12\end{array}\right.$

Ответ: при a=-6; b=12

Данное равенство является тождеством, если оно выполняется для всех допустимых значений переменной $x$. Область допустимых значений для данного равенства — все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=2$, так как при этих значениях знаменатели обращаются в ноль.

Для того чтобы найти значения $a$ и $b$, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$: $$ \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

Сложим дроби в правой части: $$ \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

Теперь исходное равенство можно записать в виде: $$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях равенства одинаковы, для выполнения тождества необходимо, чтобы их числители были равны для всех допустимых значений $x$: $$ 6x = a(x-2) + b(x-1) $$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены: $$ 6x = ax - 2a + bx - b $$ $$ 6x + 0 = (a+b)x + (-2a - b) $$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены в левой и правой частях, получим систему уравнений: $$ \begin{cases} a+b = 6 \\ -2a - b = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $b$: $$ -b = 2a $$ $$ b = -2a $$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $$ a + (-2a) = 6 $$ $$ -a = 6 $$ $$ a = -6 $$

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в выражение $b = -2a$: $$ b = -2 \cdot (-6) $$ $$ b = 12 $$

Следовательно, равенство является тождеством при $a = -6$ и $b = 12$.

Ответ: $a = -6, b = 12$.

202. Представьте дробь 5x - 1(x + 4)(x - 2) в виде суммы двух дробей со знаменателями x + 4 и x – 2.

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x+4)(x-2)}= \\ =\frac{ax-2a+bx+4b}{(x+4)(x-2)}= \\ =\frac{(ax+bx)+(-2a+4b)}{(x+4)(x-2)}= \\ =\frac{(a+b)x+(-2a+4b)}{(x+4)(x-2)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{cc}a+b=5& /·2\\ -2a+4b=-1& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}2a+2b=10\\ -2a+4b=-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}6b=9\\ a+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=\frac{9}{6}\\ a+\frac{9}{6}=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=1,5\\ a+1,5=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=1,5\\ a=3,5\end{array}\right.$

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{3,5}{x+4}+\frac{1,5}{x-2}$

Чтобы представить данную дробь в виде суммы двух дробей с указанными знаменателями, используется метод разложения на простейшие дроби (метод неопределенных коэффициентов). Искомое представление имеет вид:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2}$

где A и B — это некоторые числовые коэффициенты, которые необходимо найти.

Для нахождения этих коэффициентов, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю (x + 4)(x - 2):

$\frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2)}{(x+4)(x-2)} + \frac{B(x+4)}{(x+4)(x-2)} = \frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)}$

Таким образом, мы получаем тождество:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)}$

Поскольку знаменатели дробей в левой и правой частях равны, то должны быть равны и их числители:

$5x - 1 = A(x-2) + B(x+4)$

Это равенство верно для любого значения x. Чтобы найти коэффициенты A и B, можно подставить в это равенство значения x, которые обращают в ноль один из знаменателей исходных дробей.

1. Найдем коэффициент B, подставив в равенство x = 2. Это значение x обращает в ноль множитель (x-2) при коэффициенте A:

$5(2) - 1 = A(2-2) + B(2+4)$

$10 - 1 = A \cdot 0 + B \cdot 6$

$9 = 6B$

$B = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

2. Найдем коэффициент A, подставив в равенство x = -4. Это значение x обращает в ноль множитель (x+4) при коэффициенте B:

$5(-4) - 1 = A(-4-2) + B(-4+4)$

$-20 - 1 = A \cdot (-6) + B \cdot 0$

$-21 = -6A$

$A = \frac{-21}{-6} = \frac{7}{2}$

Теперь, подставим найденные значения A = 7/2 и B = 3/2 в исходное разложение:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{7/2}{x+4} + \frac{3/2}{x-2}$

Полученное выражение можно записать в более удобном виде:

$\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$

Ответ: $\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$

203. Представьте дробь $\frac{4x + 3}{x² - 1}$ в виде суммы двух дробей со знаменателями x – 1 и x + 1.

$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{ax+a+bx-b}{(x-1)(x+1)}= \\ =\frac{(ax+bx)+(a-b)}{(x-1)(x+1)}=\frac{(a+b)x+(a-b)}{(x-1)(x+1)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{c}a+b=x\\ a-b=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}2a=7\\ a+b=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=3,5\\ 3,5+b=4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=3,5\\ b=0,5\end{array}\right.$

$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{3,5}{x-1}+\frac{0,5}{x+1}$

Чтобы представить дробь $\frac{4x+3}{x^2-1}$ в виде суммы двух дробей, нужно разложить ее на простейшие дроби.

Шаг 1: Разложим знаменатель исходной дроби на множители. Знаменатель $x^2-1$ является разностью квадратов, поэтому:

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Шаг 2: Представим исходную дробь в виде суммы двух дробей с этими знаменателями и неизвестными числителями $A$ и $B$.

$\frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

Шаг 3: Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$.

$\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{B(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{A(x+1) + B(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Шаг 4: Приравняем числитель полученной дроби к числителю исходной дроби.

$4x+3 = A(x+1) + B(x-1)$

Шаг 5: Найдем значения $A$ и $B$. Для этого можно использовать метод частных значений, подставляя в равенство корни знаменателя $x=1$ и $x=-1$.

При $x=1$:

$4(1)+3 = A(1+1) + B(1-1)$

$7 = A \cdot 2 + B \cdot 0$

$7 = 2A$

$A = \frac{7}{2}$

При $x=-1$:

$4(-1)+3 = A(-1+1) + B(-1-1)$

$-1 = A \cdot 0 + B \cdot (-2)$

$-1 = -2B$

$B = \frac{1}{2}$

Шаг 6: Подставим найденные значения $A$ и $B$ в разложение.

$\frac{4x+3}{x^2-1} = \frac{7/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}$

Это можно записать в более удобном виде:

$\frac{7}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы двух дробей со знаменателями $x-1$ и $x+1$.

Ответ: $\frac{7}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

204. Выясните, при каких целых a дробь a² - 4a + 1a - 2 принимает целые значения, и найдите эти значения.

$\frac{a^2-4a+1}{a-2}$

$$\begin{gathered} \frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{{(a-2)}^2-3}{a-2}=\frac{{(a-2)}^2}{a-2}= \\ =-\frac{3}{a-2}=a-2-\frac{3}{a-2} \end{gathered}$$

Значение a-2 при любом целом а является целым числом. Значение дроби $\frac{3}{a-2}$является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} a-2=1; \\ a=3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-2=-1; \\ a=1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-2=3; \\ a=5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-2=-3; \\ a=-1 \end{gathered}$$

Ответ: при a=-1; 1; 3; 5 значения дроби равны -2; 2; -2; 2 соответственно

Для того чтобы дробь $ \frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} $ принимала целые значения, необходимо сначала преобразовать это выражение. Во-первых, область определения дроби требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: $a - 2 \neq 0$, следовательно, $a \neq 2$. Поскольку по условию a — целое число, то a может быть любым целым числом, кроме 2.

Преобразование выражения

Выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель, выделив в нем слагаемое, кратное знаменателю $(a - 2)$. Это можно сделать методом выделения полного квадрата:
$a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 1 = (a - 2)^2 - 3$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(a - 2)^2 - 3}{a - 2} = \frac{(a - 2)^2}{a - 2} - \frac{3}{a - 2} = a - 2 - \frac{3}{a - 2}$.

Нахождение целочисленных значений a

Поскольку по условию a — целое число, то и $(a - 2)$ — целое число. Для того чтобы всё выражение $a - 2 - \frac{3}{a - 2}$ было целым, необходимо, чтобы дробная часть $\frac{3}{a - 2}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(a - 2)$ является делителем числителя, то есть числа 3. Целыми делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все четыре возможных случая:
1. $a - 2 = 1 \implies a = 3$
2. $a - 2 = -1 \implies a = 1$
3. $a - 2 = 3 \implies a = 5$
4. $a - 2 = -3 \implies a = -1$

Таким образом, мы нашли все целые значения a, при которых дробь принимает целые значения: $a \in \{-1, 1, 3, 5\}$.

Нахождение значений дроби

Теперь найдем соответствующие целые значения дроби для каждого из найденных значений a, используя преобразованное выражение $a - 2 - \frac{3}{a - 2}$:
При $a = -1$: значение дроби равно $-1 - 2 - \frac{3}{-1 - 2} = -3 - \frac{3}{-3} = -3 + 1 = -2$.
При $a = 1$: значение дроби равно $1 - 2 - \frac{3}{1 - 2} = -1 - \frac{3}{-1} = -1 + 3 = 2$.
При $a = 3$: значение дроби равно $3 - 2 - \frac{3}{3 - 2} = 1 - \frac{3}{1} = 1 - 3 = -2$.
При $a = 5$: значение дроби равно $5 - 2 - \frac{3}{5 - 2} = 3 - \frac{3}{1} = 3 - 1 = 2$.

Получается, что дробь может принимать только два целых значения: $-2$ и $2$.

Ответ: Дробь принимает целые значения при $a \in \{-1, 1, 3, 5\}$. Этими значениями являются $-2$ и $2$.

205. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, найдите целые значения дроби:

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{m^2-6m+10}{m-3}=\frac{m^2-6m+9+1}{m-3}= \\ =\frac{{(m-3)}^2+1}{m-3}=\frac{{(m-3)}^2}{m-3}+\frac{1}{m-3}= \\ =m-3+\frac{1}{m-3} \end{gathered}$$

Значение m-3 при любом целом m является целым числом. Значение дроби $\frac{1}{m-3}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

$$\begin{gathered} m-3=1 \\ m=4 \end{gathered}$$ и $$\begin{gathered} m-3=-1 \\ m=2 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{при}}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{;} \\ 2-3+\frac{1}{2-3}=-1-1=-2 \\ \mathbf{\text{при}}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{;} 4-3+\frac{1}{4-3}=2 \end{gathered}$$

Ответ: 2 и -2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(m-4)}^2}{m-2}=\frac{m^2-8m+16}{m-2}= \\ =\frac{(m-2)(m-6)+4}{m-2}=\frac{(m-2)(m-6)}{m-2}+ \\ +\frac{4}{m-2}=m-6+\frac{4}{m-2} \end{gathered}$$

Значение m-6 при любом целом m является целым числом. Значение дроби $\frac{4}{m-2}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

$$\begin{gathered} m-2=1; \\ m=3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=-1; \\ m=1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=2; \\ m=4 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=-2; \\ m=0 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=4; \\ m=6 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=-4; \\ m=-2 \end{gathered}$$

при m=3   $3-6+\frac{4}{3-2}=-3+4=1$

при m=1   $1-6+\frac{4}{1-2}=-5-4=-9$

при m=4   $4-6+\frac{4}{4-2}=-2+2=0$

при m=0   $0-6+\frac{4}{0-2}=-6-2=-8$

при m=6   $6-6+\frac{4}{6-2}=1$

при m=-2   $-2-6+\frac{4}{-2-2}=-8-1=-9$

Ответ: -9; -8; 0; 1

Для того чтобы найти все целые значения, которые может принимать дробь с целой переменной $m$, необходимо преобразовать её так, чтобы выделить целую часть. Это достигается путем деления числителя на знаменатель (например, "уголком") или с помощью алгебраических преобразований, чтобы представить дробь в виде суммы многочлена от $m$ и остатка, деленного на знаменатель. Поскольку $m$ — целое число, значение многочлена также будет целым. Следовательно, исходное выражение будет целым только тогда, когда дробная часть (остаток/знаменатель) также будет принимать целые значения. Это происходит, когда знаменатель является делителем числителя остатка.

а) Найдём целые значения дроби $ \frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3} $.

Преобразуем числитель, выделив в нём выражение, кратное знаменателю. Для этого можно выделить полный квадрат, связанный со знаменателем $m-3$.

$ m^2 - 6m + 10 = (m^2 - 6m + 9) + 1 = (m-3)^2 + 1 $.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(m-3)^2 + 1}{m-3} = \frac{(m-3)^2}{m-3} + \frac{1}{m-3} = m - 3 + \frac{1}{m-3} $.

Так как $m$ — целое число, выражение $m-3$ также является целым. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $ \frac{1}{m-3} $ было целым. Это возможно только в том случае, если знаменатель $m-3$ является делителем числа 1.

Целыми делителями числа 1 являются 1 и -1. Рассмотрим эти два случая:

1. Если $m - 3 = 1$, то $m = 4$. Значение дроби равно: $ (4 - 3) + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$.
2. Если $m - 3 = -1$, то $m = 2$. Значение дроби равно: $ (2 - 3) + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

Таким образом, данная дробь может принимать два целых значения.

Ответ: -2; 2.

б) Найдём целые значения дроби $ \frac{(m-4)^2}{m-2} $.

Преобразуем числитель, чтобы выделить в нём слагаемые, кратные знаменателю $m-2$. Для удобства можно сделать замену $k = m - 2$, из которой следует, что $m-4 = (m-2) - 2 = k-2$.

Подставим это в дробь:

$ \frac{(k-2)^2}{k} = \frac{k^2 - 4k + 4}{k} = \frac{k^2}{k} - \frac{4k}{k} + \frac{4}{k} = k - 4 + \frac{4}{k} $.

Вернёмся к переменной $m$, подставив $k = m-2$:

$ (m-2) - 4 + \frac{4}{m-2} = m - 6 + \frac{4}{m-2} $.

Так как $m$ — целое число, выражение $m-6$ также является целым. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $ \frac{4}{m-2} $ была целым числом. Это означает, что знаменатель $m-2$ должен быть одним из целых делителей числа 4.

Целые делители числа 4: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4$. Рассмотрим все шесть случаев и найдем соответствующие значения дроби:

• Если $m-2=1$, то $m=3$. Значение дроби: $(3-6)+\frac{4}{1} = -3+4 = 1$.
• Если $m-2=-1$, то $m=1$. Значение дроби: $(1-6)+\frac{4}{-1} = -5-4 = -9$.
• Если $m-2=2$, то $m=4$. Значение дроби: $(4-6)+\frac{4}{2} = -2+2 = 0$.
• Если $m-2=-2$, то $m=0$. Значение дроби: $(0-6)+\frac{4}{-2} = -6-2 = -8$.
• Если $m-2=4$, то $m=6$. Значение дроби: $(6-6)+\frac{4}{4} = 0+1 = 1$.
• Если $m-2=-4$, то $m=-2$. Значение дроби: $(-2-6)+\frac{4}{-4} = -8-1 = -9$.

Уникальные целые значения, которые принимает дробь: -9, -8, 0, 1.

Ответ: -9; -8; 0; 1.

206. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:

а) 5x + y – xy = 2;

б) xy – x + y = 8.

a) $5x+y-xy=2$

$$\begin{gathered} 5x-xy=2-y \\ x(5-y)=2-y \\ x=\frac{2-y}{5-y} \\ x=\frac{y-2}{y-5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=\frac{y-2-3+3}{y-5}=\frac{y-5+3}{y-5}=\frac{y-5}{y-5}+\frac{3}{y-5}= \\ =1+\frac{3}{y-5} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{3}{y-5}$является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} y-5=1; \\ y=6 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-5=-1; \\ y=4 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-5=3; \\ y=8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-5=-3; \\ y=2 \end{gathered}$$

$y=6; x=1+\frac{3}{6-5}=1+3=4; (4;6)$

$y=4; x=1+\frac{3}{4-5}=1-3=-2; (-2;4)$

$y=8; x=1+\frac{3}{8-5}=1+1=2; (2;8)$

$y=2; x=1+\frac{3}{2-5}=1-1=0; (0;2)$

Ответ: (4;6), (-2;4), (2;8), (0;2)

б) $xy-x+y=8$

$$\begin{gathered} 5x-xy=2-y \\ x(y-1)=8-y \\ x=\frac{8-y}{y-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=\frac{-y+1+7}{y-1}=\frac{-(y-1)+7}{y-1}=\frac{-(y-1)}{y-1}+\frac{7}{y-1}= \\ =-1+\frac{7}{y-1} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{7}{y-1}$является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} y-1=1; \\ y=2; \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-1=-1; \\ y=0 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-1=7; \\ y=8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} y-1=-7; \\ y=-6 \end{gathered}$$

$y=2; x=-1+\frac{7}{2-1}=-1+7=6; (6;2)$

$y=0; x=-1+\frac{7}{0-1}=-1-7=-8; (-8;0)$

$y=8; x=-1+\frac{7}{8-1}=-1+1=0; (0;8)$

$y=-6; x=-1+\frac{7}{-6-1}=-1-1=-2; (-2;-6)$

Ответ: (6;2), (-8;0), (0;8), (-2;-6)

Дано уравнение $5x + y - xy = 2$, где $x$ и $y$ — целые числа.

Для решения этого уравнения в целых числах преобразуем его, чтобы можно было разложить на множители. Перенесем все члены в одну сторону и изменим знаки для удобства:

$xy - 5x - y = -2$

Теперь применим метод группировки. Чтобы разложить на множители выражение $xy - 5x - y$, добавим и вычтем такое число, чтобы можно было вынести общий множитель. Сгруппируем первые два члена и вынесем $x$:

$x(y - 5) - y = -2$

Чтобы из оставшейся части $-y$ получить множитель $(y-5)$, нам нужно прибавить 5:

$x(y - 5) - y + 5 - 5 = -2$

$x(y - 5) - (y - 5) - 5 = -2$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(y - 5)$:

$(x - 1)(y - 5) = -2 + 5$

$(x - 1)(y - 5) = 3$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 1)$ и $(y - 5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 3. Следовательно, они должны быть делителями числа 3. Целочисленные делители числа 3 это: $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные пары целочисленных множителей числа 3:

1. Если $x - 1 = 1$ и $y - 5 = 3$, то $x = 1 + 1 = 2$ и $y = 3 + 5 = 8$. Пара $(2, 8)$.
2. Если $x - 1 = 3$ и $y - 5 = 1$, то $x = 3 + 1 = 4$ и $y = 1 + 5 = 6$. Пара $(4, 6)$.
3. Если $x - 1 = -1$ и $y - 5 = -3$, то $x = -1 + 1 = 0$ и $y = -3 + 5 = 2$. Пара $(0, 2)$.
4. Если $x - 1 = -3$ и $y - 5 = -1$, то $x = -3 + 1 = -2$ и $y = -1 + 5 = 4$. Пара $(-2, 4)$.

Таким образом, мы нашли все возможные пары целых чисел.

Ответ: $(2, 8), (4, 6), (0, 2), (-2, 4)$.

Дано уравнение $xy - x + y = 8$, где $x$ и $y$ — целые числа.

Как и в предыдущем пункте, преобразуем уравнение для разложения на множители. Для этого добавим к обеим частям уравнения $-1$:

$xy - x + y - 1 = 8 - 1$

Теперь сгруппируем члены и вынесем общие множители:

$x(y - 1) + 1(y - 1) = 7$

$(x + 1)(y - 1) = 7$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(x + 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Число 7 является простым, поэтому его целочисленные делители: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все возможные пары целочисленных множителей числа 7:

1. Если $x + 1 = 1$ и $y - 1 = 7$, то $x = 1 - 1 = 0$ и $y = 7 + 1 = 8$. Пара $(0, 8)$.
2. Если $x + 1 = 7$ и $y - 1 = 1$, то $x = 7 - 1 = 6$ и $y = 1 + 1 = 2$. Пара $(6, 2)$.
3. Если $x + 1 = -1$ и $y - 1 = -7$, то $x = -1 - 1 = -2$ и $y = -7 + 1 = -6$. Пара $(-2, -6)$.
4. Если $x + 1 = -7$ и $y - 1 = -1$, то $x = -7 - 1 = -8$ и $y = -1 + 1 = 0$. Пара $(-8, 0)$.

Мы получили все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению.

Ответ: $(0, 8), (6, 2), (-2, -6), (-8, 0)$.

207. Найдите все точки графика функции y =x² - 6x + 1x - 3 с целочисленными координатами.

$y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}$

$$\begin{gathered} y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}=\frac{{(x-3)}^2-8}{x-3}=\frac{{(x-3)}^2}{x-3}-\frac{8}{x-3}= \\ =x-3-\frac{8}{x-3} \end{gathered}$$

Значение x-3 при любом целом x является целым числом. Значение дроби $\frac{8}{x-3}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

x-3=1; x=4; $y=4-3-\frac{8}{4-3}=1-\frac{8}{1}=1-8=-7$

x-3=-1; x=2; $y=2-3-\frac{8}{2-3}=-1-\frac{8}{-1}=-1+8=7$

x-3=2; x=5; $y=5-3-\frac{8}{5-3}=2-\frac{8}{2}=2-4=-2$

x-3=-2; x=1; $y=1-3-\frac{8}{1-3}=-2-\frac{8}{-2}=-2+4=2$

x-3=4; x=7; $y=7-3-\frac{8}{7-3}=4-\frac{8}{4}=4-2=2$

x-3=-4; x=-1; $y=-1-3-\frac{8}{-1-3}=-4-\frac{8}{-4}=-4+2=-2$

x-3=8; x=11; $y=11-3-\frac{8}{11-3}=8-\frac{8}{8}=8-1=7$

x-3=-8; x=-5; $y=-5-3-\frac{8}{-5-3}=-8-\frac{8}{-8}=-8+1=-7$

Ответ: (4;-7), (2;7), (5;-2), (1;2), (7;2), (-1;-2), (11;7), (-5;-7),

Для того чтобы найти все точки графика функции $y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}$ с целочисленными координатами, необходимо найти все целые значения $x$, при которых соответствующее значение $y$ также является целым числом.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=3$. Поскольку мы ищем точки с целочисленными координатами, $x$ должен быть целым числом, не равным 3.

Преобразуем выражение для функции, выделив целую часть. Для этого разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Удобнее всего это сделать, представив числитель через выражение $(x-3)$. Выполним преобразование, дополнив до полного квадрата разности $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$:

$y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3} = \frac{(x^2 - 6x + 9) - 9 + 1}{x - 3} = \frac{(x-3)^2 - 8}{x-3}$

Теперь разделим полученное выражение почленно:

$y = \frac{(x-3)^2}{x-3} - \frac{8}{x-3} = (x-3) - \frac{8}{x-3}$

Мы ищем целочисленные решения $(x, y)$. Так как по условию $x$ — целое число, то выражение $(x-3)$ также является целым. Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы вся правая часть, $(x-3) - \frac{8}{x-3}$, была целым числом. Поскольку $(x-3)$ — это целое, то и дробь $\frac{8}{x-3}$ должна принимать целые значения.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(x-3)$ является делителем числителя 8.

Найдем все целые делители числа 8. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Приравняем выражение $(x-3)$ к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $x$ и $y$:

1. $x - 3 = 1 \implies x = 4$. Тогда $y = (4-3) - \frac{8}{1} = 1 - 8 = -7$. Получаем точку $(4, -7)$.
2. $x - 3 = -1 \implies x = 2$. Тогда $y = (2-3) - \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7$. Получаем точку $(2, 7)$.
3. $x - 3 = 2 \implies x = 5$. Тогда $y = (5-3) - \frac{8}{2} = 2 - 4 = -2$. Получаем точку $(5, -2)$.
4. $x - 3 = -2 \implies x = 1$. Тогда $y = (1-3) - \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.
5. $x - 3 = 4 \implies x = 7$. Тогда $y = (7-3) - \frac{8}{4} = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(7, 2)$.
6. $x - 3 = -4 \implies x = -1$. Тогда $y = (-1-3) - \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
7. $x - 3 = 8 \implies x = 11$. Тогда $y = (11-3) - \frac{8}{8} = 8 - 1 = 7$. Получаем точку $(11, 7)$.
8. $x - 3 = -8 \implies x = -5$. Тогда $y = (-5-3) - \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7$. Получаем точку $(-5, -7)$.

Мы нашли 8 точек, у которых обе координаты являются целыми числами.

Ответ: $(-5, -7), (-1, -2), (1, 2), (2, 7), (4, -7), (5, -2), (7, 2), (11, 7)$.

208. Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение дроби 5a² + 6a² + 1 не является целым числом.

$$\begin{gathered} \frac{5a^2+6}{a^2+1}=\frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}=\frac{5(a^2+1)}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}= \\ =5+\frac{1}{a^2+1} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{1}{a^2+1}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

$$\begin{gathered} a^2+1=1 \\ {a}^2=0 \\ a=0 \end{gathered}$$ или $$\begin{gathered} a^2+1=-1 \\ {a}^2=-1-1 \\ {a}^2=-2 \text{не имеет смысла} \end{gathered}$$ 

Значит, значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$может быть целым числом только при a=0.

Следовательно, при любом целом a, отличном от нуля, значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом

Ответ: (4;-7), (2;7), (5;-2), (1;2), (7;2), (-1;-2), (11;7), (-5;-7),

Для того чтобы доказать, что значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом при любом целом $a \ne 0$, преобразуем данное выражение. Выделим целую часть дроби путем представления числителя через знаменатель:

$\frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5a^2+5+1}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}$

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5(a^2+1)}{a^2+1} + \frac{1}{a^2+1} = 5 + \frac{1}{a^2+1}$

Полученное выражение $5 + \frac{1}{a^2+1}$ будет являться целым числом тогда и только тогда, когда слагаемое $\frac{1}{a^2+1}$ является целым числом, так как 5 — это целое число.

Рассмотрим дробь $\frac{1}{a^2+1}$ с учетом условия, что $a$ — любое целое число, отличное от нуля ($a \in \mathbb{Z}, a \ne 0$).

Поскольку $a$ — ненулевое целое число, его квадрат $a^2$ является натуральным числом (целым и положительным). Наименьшее возможное значение для $a$ — это $1$ или $-1$. В обоих случаях $a^2 = 1$. Для всех остальных целых $a$ значение $a^2$ будет больше 1. Таким образом, для любого целого $a \ne 0$ выполняется неравенство $a^2 \ge 1$.

Следовательно, знаменатель дроби $a^2+1$ удовлетворяет неравенству:

$a^2+1 \ge 1+1$

$a^2+1 \ge 2$

Дробь $\frac{1}{k}$ (где $k$ — целое число) может быть целым числом только если ее знаменатель $k$ равен $1$ или $-1$. В нашем случае знаменатель равен $a^2+1$. Так как мы установили, что $a^2+1 \ge 2$, он не может быть равен ни $1$, ни $-1$.

Это означает, что дробь $\frac{1}{a^2+1}$ не может быть целым числом. Более того, для любого целого $a \ne 0$ выполняется $0 < \frac{1}{a^2+1} \le \frac{1}{2}$.

Поскольку 5 — целое число, а $\frac{1}{a^2+1}$ — нецелое число, их сумма $5 + \frac{1}{a^2+1}$ также не может быть целым числом.

Таким образом, мы доказали, что при любом целом $a$, отличном от нуля, значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом.

Ответ: Утверждение доказано путем преобразования дроби к виду $5 + \frac{1}{a^2+1}$ и показав, что слагаемое $\frac{1}{a^2+1}$ не является целым числом при заданных условиях.

209. Найдите все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна 17.

$\frac{1}{a}$ - обратное число а, $\frac{1}{b}$ - обратное число b, где $a\in N,$ $b\in N.$ Зная, что $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7},$ выразим b через a

$\frac{1}{b}=\frac{1}{7}-\frac{1}{a}; \frac{1}{b}=\frac{a-7}{7a}; b=\frac{7a}{a-7}$

$$\begin{gathered} b=\frac{7a}{a-7}=\frac{7(a-7)+49}{a-7}=\frac{7(a-7)}{a-7}+\frac{49}{a-7}= \\ =7+\frac{49}{a-7} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{49}{a-7}$ является натуральным числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} a-7=1; \\ a=8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-7=7; \\ a=14 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-7=49; \\ a=56 \end{gathered}$$

a=8; $b=7+\frac{49}{8-7}=7+49=56$

a=14; $b=7+\frac{49}{14-7}=7+\frac{49}{7}=7+7=14$

a=56; $b=7+\frac{49}{56-7}=7+\frac{49}{49}=7+1=8$

Ответ: a=8;b=56; a=14;b=14; a=56;b=8

Согласно условию задачи, нам нужно найти все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}$

Для решения приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{b+a}{ab} = \frac{1}{7}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$7(a+b) = ab$

Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем уравнение для последующего разложения на множители:

$ab - 7a - 7b = 0$

Чтобы разложить левую часть на множители, прибавим к обеим частям уравнения число 49 (этот прием называется методом выделения полного квадрата или "факторизацией Саймона"):

$ab - 7a - 7b + 49 = 49$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$a(b-7) - 7(b-7) = 49$

$(a-7)(b-7) = 49$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то $a \geq 1$ и $b \geq 1$. Следовательно, множители $(a-7)$ и $(b-7)$ являются целыми числами, не меньшими чем $1-7=-6$. Произведение этих двух целых чисел равно 49 (положительное число), значит, они должны быть одного знака. Рассмотрим два возможных случая.

1. Оба множителя положительны. Нам нужно найти все пары положительных целых чисел, произведение которых равно 49. Это пары (1, 49), (7, 7) и (49, 1).
- Если $a-7=1$ и $b-7=49$, то $a=8$ и $b=56$. Пара (8, 56) является решением.
- Если $a-7=7$ и $b-7=7$, то $a=14$ и $b=14$. Пара (14, 14) является решением.
- Если $a-7=49$ и $b-7=1$, то $a=56$ и $b=8$. Пара (56, 8) является решением.

2. Оба множителя отрицательны. Пары отрицательных делителей числа 49 это (–1, –49), (–7, –7) и (–49, –1).
- Если $a-7=-1$ и $b-7=-49$, то $a=6$ и $b=-42$. Так как $b$ не является натуральным числом, эта пара не является решением.
- Если $a-7=-7$ и $b-7=-7$, то $a=0$ и $b=0$. Числа 0 не являются натуральными, поэтому эта пара не является решением.
- Если $a-7=-49$ и $b-7=-1$, то $a=-42$ и $b=6$. Так как $a$ не является натуральным числом, эта пара не является решением.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных чисел, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: (8, 56), (14, 14), (56, 8).