Номер 204, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 204, страница 55.

204. Выясните, при каких целых a дробь a² - 4a + 1a - 2 принимает целые значения, и найдите эти значения.

$\frac{a^2-4a+1}{a-2}$

a	-1	1	3	5
$\frac{a^2-4a+1}{a-2}$	-2	2	-2	2

$$\begin{gathered} \frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{{(a-2)}^2-3}{a-2}=\frac{{(a-2)}^2}{a-2}= \\ =-\frac{3}{a-2}=a-2-\frac{3}{a-2} \end{gathered}$$

Значение a-2 при любом целом а является целым числом. Значение дроби $\frac{3}{a-2}$является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} a-2=1; \\ a=3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-2=-1; \\ a=1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-2=3; \\ a=5 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-2=-3; \\ a=-1 \end{gathered}$$

Ответ: при a=-1; 1; 3; 5 значения дроби равны -2; 2; -2; 2 соответственно

Для того чтобы дробь $ \frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} $ принимала целые значения, необходимо сначала преобразовать это выражение. Во-первых, область определения дроби требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: $a - 2 \neq 0$, следовательно, $a \neq 2$. Поскольку по условию a — целое число, то a может быть любым целым числом, кроме 2.

Преобразование выражения

Выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель, выделив в нем слагаемое, кратное знаменателю $(a - 2)$. Это можно сделать методом выделения полного квадрата:
$a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 1 = (a - 2)^2 - 3$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(a - 2)^2 - 3}{a - 2} = \frac{(a - 2)^2}{a - 2} - \frac{3}{a - 2} = a - 2 - \frac{3}{a - 2}$.

Нахождение целочисленных значений a

Поскольку по условию a — целое число, то и $(a - 2)$ — целое число. Для того чтобы всё выражение $a - 2 - \frac{3}{a - 2}$ было целым, необходимо, чтобы дробная часть $\frac{3}{a - 2}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(a - 2)$ является делителем числителя, то есть числа 3. Целыми делителями числа 3 являются числа $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все четыре возможных случая:
1. $a - 2 = 1 \implies a = 3$
2. $a - 2 = -1 \implies a = 1$
3. $a - 2 = 3 \implies a = 5$
4. $a - 2 = -3 \implies a = -1$

Таким образом, мы нашли все целые значения a, при которых дробь принимает целые значения: $a \in \{-1, 1, 3, 5\}$.

Нахождение значений дроби

Теперь найдем соответствующие целые значения дроби для каждого из найденных значений a, используя преобразованное выражение $a - 2 - \frac{3}{a - 2}$:
При $a = -1$: значение дроби равно $-1 - 2 - \frac{3}{-1 - 2} = -3 - \frac{3}{-3} = -3 + 1 = -2$.
При $a = 1$: значение дроби равно $1 - 2 - \frac{3}{1 - 2} = -1 - \frac{3}{-1} = -1 + 3 = 2$.
При $a = 3$: значение дроби равно $3 - 2 - \frac{3}{3 - 2} = 1 - \frac{3}{1} = 1 - 3 = -2$.
При $a = 5$: значение дроби равно $5 - 2 - \frac{3}{5 - 2} = 3 - \frac{3}{1} = 3 - 1 = 2$.

Получается, что дробь может принимать только два целых значения: $-2$ и $2$.

Ответ: Дробь принимает целые значения при $a \in \{-1, 1, 3, 5\}$. Этими значениями являются $-2$ и $2$.