Номер 207, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 207, страница 55.

207. Найдите все точки графика функции y =x² - 6x + 1x - 3 с целочисленными координатами.

$y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}$

$$\begin{gathered} y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}=\frac{{(x-3)}^2-8}{x-3}=\frac{{(x-3)}^2}{x-3}-\frac{8}{x-3}= \\ =x-3-\frac{8}{x-3} \end{gathered}$$

Значение x-3 при любом целом x является целым числом. Значение дроби $\frac{8}{x-3}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

x-3=1; x=4; $y=4-3-\frac{8}{4-3}=1-\frac{8}{1}=1-8=-7$

x-3=-1; x=2; $y=2-3-\frac{8}{2-3}=-1-\frac{8}{-1}=-1+8=7$

x-3=2; x=5; $y=5-3-\frac{8}{5-3}=2-\frac{8}{2}=2-4=-2$

x-3=-2; x=1; $y=1-3-\frac{8}{1-3}=-2-\frac{8}{-2}=-2+4=2$

x-3=4; x=7; $y=7-3-\frac{8}{7-3}=4-\frac{8}{4}=4-2=2$

x-3=-4; x=-1; $y=-1-3-\frac{8}{-1-3}=-4-\frac{8}{-4}=-4+2=-2$

x-3=8; x=11; $y=11-3-\frac{8}{11-3}=8-\frac{8}{8}=8-1=7$

x-3=-8; x=-5; $y=-5-3-\frac{8}{-5-3}=-8-\frac{8}{-8}=-8+1=-7$

Ответ: (4;-7), (2;7), (5;-2), (1;2), (7;2), (-1;-2), (11;7), (-5;-7),

Для того чтобы найти все точки графика функции $y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3}$ с целочисленными координатами, необходимо найти все целые значения $x$, при которых соответствующее значение $y$ также является целым числом.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=3$. Поскольку мы ищем точки с целочисленными координатами, $x$ должен быть целым числом, не равным 3.

Преобразуем выражение для функции, выделив целую часть. Для этого разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Удобнее всего это сделать, представив числитель через выражение $(x-3)$. Выполним преобразование, дополнив до полного квадрата разности $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$:

$y = \frac{x^2 - 6x + 1}{x - 3} = \frac{(x^2 - 6x + 9) - 9 + 1}{x - 3} = \frac{(x-3)^2 - 8}{x-3}$

Теперь разделим полученное выражение почленно:

$y = \frac{(x-3)^2}{x-3} - \frac{8}{x-3} = (x-3) - \frac{8}{x-3}$

Мы ищем целочисленные решения $(x, y)$. Так как по условию $x$ — целое число, то выражение $(x-3)$ также является целым. Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы вся правая часть, $(x-3) - \frac{8}{x-3}$, была целым числом. Поскольку $(x-3)$ — это целое, то и дробь $\frac{8}{x-3}$ должна принимать целые значения.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(x-3)$ является делителем числителя 8.

Найдем все целые делители числа 8. Это числа: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Приравняем выражение $(x-3)$ к каждому из этих делителей и найдем соответствующие значения $x$ и $y$:

1. $x - 3 = 1 \implies x = 4$. Тогда $y = (4-3) - \frac{8}{1} = 1 - 8 = -7$. Получаем точку $(4, -7)$.
2. $x - 3 = -1 \implies x = 2$. Тогда $y = (2-3) - \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7$. Получаем точку $(2, 7)$.
3. $x - 3 = 2 \implies x = 5$. Тогда $y = (5-3) - \frac{8}{2} = 2 - 4 = -2$. Получаем точку $(5, -2)$.
4. $x - 3 = -2 \implies x = 1$. Тогда $y = (1-3) - \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.
5. $x - 3 = 4 \implies x = 7$. Тогда $y = (7-3) - \frac{8}{4} = 4 - 2 = 2$. Получаем точку $(7, 2)$.
6. $x - 3 = -4 \implies x = -1$. Тогда $y = (-1-3) - \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
7. $x - 3 = 8 \implies x = 11$. Тогда $y = (11-3) - \frac{8}{8} = 8 - 1 = 7$. Получаем точку $(11, 7)$.
8. $x - 3 = -8 \implies x = -5$. Тогда $y = (-5-3) - \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7$. Получаем точку $(-5, -7)$.

Мы нашли 8 точек, у которых обе координаты являются целыми числами.

Ответ: $(-5, -7), (-1, -2), (1, 2), (2, 7), (4, -7), (5, -2), (7, 2), (11, 7)$.