Номер 208, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 208, страница 55.

208. Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение дроби 5a² + 6a² + 1 не является целым числом.

$$\begin{gathered} \frac{5a^2+6}{a^2+1}=\frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}=\frac{5(a^2+1)}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}= \\ =5+\frac{1}{a^2+1} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{1}{a^2+1}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

$$\begin{gathered} a^2+1=1 \\ {a}^2=0 \\ a=0 \end{gathered}$$ или $$\begin{gathered} a^2+1=-1 \\ {a}^2=-1-1 \\ {a}^2=-2 \text{не имеет смысла} \end{gathered}$$ 

Значит, значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$может быть целым числом только при a=0.

Следовательно, при любом целом a, отличном от нуля, значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом

Ответ: (4;-7), (2;7), (5;-2), (1;2), (7;2), (-1;-2), (11;7), (-5;-7),

Для того чтобы доказать, что значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом при любом целом $a \ne 0$, преобразуем данное выражение. Выделим целую часть дроби путем представления числителя через знаменатель:

$\frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5a^2+5+1}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}$

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5(a^2+1)}{a^2+1} + \frac{1}{a^2+1} = 5 + \frac{1}{a^2+1}$

Полученное выражение $5 + \frac{1}{a^2+1}$ будет являться целым числом тогда и только тогда, когда слагаемое $\frac{1}{a^2+1}$ является целым числом, так как 5 — это целое число.

Рассмотрим дробь $\frac{1}{a^2+1}$ с учетом условия, что $a$ — любое целое число, отличное от нуля ($a \in \mathbb{Z}, a \ne 0$).

Поскольку $a$ — ненулевое целое число, его квадрат $a^2$ является натуральным числом (целым и положительным). Наименьшее возможное значение для $a$ — это $1$ или $-1$. В обоих случаях $a^2 = 1$. Для всех остальных целых $a$ значение $a^2$ будет больше 1. Таким образом, для любого целого $a \ne 0$ выполняется неравенство $a^2 \ge 1$.

Следовательно, знаменатель дроби $a^2+1$ удовлетворяет неравенству:

$a^2+1 \ge 1+1$

$a^2+1 \ge 2$

Дробь $\frac{1}{k}$ (где $k$ — целое число) может быть целым числом только если ее знаменатель $k$ равен $1$ или $-1$. В нашем случае знаменатель равен $a^2+1$. Так как мы установили, что $a^2+1 \ge 2$, он не может быть равен ни $1$, ни $-1$.

Это означает, что дробь $\frac{1}{a^2+1}$ не может быть целым числом. Более того, для любого целого $a \ne 0$ выполняется $0 < \frac{1}{a^2+1} \le \frac{1}{2}$.

Поскольку 5 — целое число, а $\frac{1}{a^2+1}$ — нецелое число, их сумма $5 + \frac{1}{a^2+1}$ также не может быть целым числом.

Таким образом, мы доказали, что при любом целом $a$, отличном от нуля, значение дроби $\frac{5a^2+6}{a^2+1}$ не является целым числом.

Ответ: Утверждение доказано путем преобразования дроби к виду $5 + \frac{1}{a^2+1}$ и показав, что слагаемое $\frac{1}{a^2+1}$ не является целым числом при заданных условиях.