Номер 215, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 215, страница 56.

215. Составьте какую-либо дробь с переменной х, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме:

a) $\frac{5x}{x-2}$

б) $\frac{2x^2-1}{x^2-3x}$

в) $\frac{8x+9}{x^2-9}$

г) $\frac{125-x}{4x^2-1}$

Дробь имеет смысл тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Следовательно, чтобы составить дробь, которая не имеет смысла при заданных значениях x, необходимо сконструировать знаменатель, который обращается в ноль именно при этих значениях. В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, например, 1.

а) x = 2;
Знаменатель должен быть равен нулю при $x = 2$. Простейшее выражение, удовлетворяющее этому условию — это $x - 2$.
Ответ: $ \frac{1}{x - 2} $

б) x = 0 и x = 3;
Знаменатель должен обращаться в ноль при $x = 0$ и при $x = 3$. Для этого он должен содержать множители $(x - 0)$ и $(x - 3)$. Их произведение дает нам искомый знаменатель: $x(x - 3) = x^2 - 3x$.
Ответ: $ \frac{1}{x(x - 3)} $

в) x = -3 и x = 3;
Знаменатель должен быть равен нулю при $x = -3$ и $x = 3$. Он должен содержать множители $(x - (-3))$ и $(x - 3)$, то есть $(x + 3)$ и $(x - 3)$. Их произведение по формуле разности квадратов равно $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Ответ: $ \frac{1}{x^2 - 9} $

г) x = $-\frac{1}{2}$ и x = $\frac{1}{2}$.
Знаменатель должен обращаться в ноль при $x = -\frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{2}$. Соответствующие множители: $(x + \frac{1}{2})$ и $(x - \frac{1}{2})$. Их произведение: $(x + \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2}) = x^2 - \frac{1}{4}$. Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, можно домножить это выражение на 4, получив $4x^2 - 1$, что также обращается в ноль при тех же значениях x.
Ответ: $ \frac{1}{4x^2 - 1} $