Номер 220, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 220, страница 57.

220. Выполните сокращение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{b^{14}-b^7+1}{b^{21}+1}=\frac{b^{14}-b^7+1}{{\left(b^7\right)}^3+1}= \\ =\frac{b^{14}-b^7+1}{(b^7+1)(b^{14}-b^7+1)}=\frac{1}{b^7+1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}=\frac{{\left(x^{11}\right)}^3-1}{x^{11}(x^{22}+x^{11}+1)}= \\ =\frac{(x^{11}-1)(x^{22}+x^{11}+1)}{x^{11}(x^{22}+x^{11}+1)}=\frac{x^{11}-1}{x^{11}} \end{gathered}$$

в) $\frac{x(y-z)-y(x-z)}{x{(y-z)}^2-y{(x-z)}^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{xy-xz-yx+yz}{x(y^2-2yz+z^2)-(x^2-2x{z}^2+z^2)}= \\ =\frac{yz-xz}{x{y}^2-2xyz+x{z}^2-y{x}^2+2xyz-y{z}^2}= \\ =\frac{z(y-x)}{(x{y}^2-y{x}^2)+(x{z}^2-y{z}^2)}= \\ =\frac{z(y-x)}{xy(y-x)+z^2(x-y)}= \\ =\frac{z(y-x)}{xy(y-x)-z^2(y-x)}= \\ =\frac{z(y-x)}{(y-x)(xy-z^2)}=\frac{z}{xy-z^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a{(b+1)}^2-b{(a+1)}^2}{a(b+1)-b(a+1)}= \\ =\frac{a(b^2+2b+1)-b(a^2+2a+1)}{ab+a-ab-b}= \\ =\frac{a{b}^2+2ab+a-a^{2}b-2ab-b}{a-b}= \\ =\frac{(a{b}^2-a^{2}b)+(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{ab(b-a)+(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{-ab(a-b)+(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{(a-b)(1-ab)}{a-b}=1-ab \end{gathered}$$

а) Исходное выражение: $\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1}$.
Знаменатель дроби можно представить как сумму кубов. Используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.
Пусть $A = b^7$ и $B = 1$. Тогда знаменатель $b^{21} + 1 = (b^7)^3 + 1^3$ можно разложить на множители:
$b^{21} + 1 = (b^7 + 1)((b^7)^2 - b^7 \cdot 1 + 1^2) = (b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)}$.
Сократим общий множитель $(b^{14} - b^7 + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{b^{14} - b^7 + 1}}{(b^7 + 1)\cancel{(b^{14} - b^7 + 1)}} = \frac{1}{b^7 + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{b^7 + 1}$.

б) Исходное выражение: $\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}$.
Сначала разложим на множители знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $x^{11}$:
$x^{33} + x^{22} + x^{11} = x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)$.
Числитель дроби можно представить как разность кубов. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.
Пусть $A = x^{11}$ и $B = 1$. Тогда числитель $x^{33} - 1 = (x^{11})^3 - 1^3$ можно разложить на множители:
$x^{33} - 1 = (x^{11} - 1)((x^{11})^2 + x^{11} \cdot 1 + 1^2) = (x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)$.
Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{(x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)}$.
Сократим общий множитель $(x^{22} + x^{11} + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(x^{11} - 1)\cancel{(x^{22} + x^{11} + 1)}}{x^{11}\cancel{(x^{22} + x^{11} + 1)}} = \frac{x^{11} - 1}{x^{11}}$.
Ответ: $\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}$.

в) Исходное выражение: $\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$x(y - z) - y(x - z) = xy - xz - yx + yz = -xz + yz = z(y - x)$.
Теперь преобразуем знаменатель. Раскроем скобки:
$x(y - z)^2 - y(x - z)^2 = x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2)$
$= xy^2 - 2xyz + xz^2 - yx^2 + 2xyz - yz^2$
Взаимно уничтожим члены $-2xyz$ и $+2xyz$:
$= xy^2 + xz^2 - yx^2 - yz^2$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$= (xy^2 - yx^2) + (xz^2 - yz^2) = xy(y - x) + z^2(x - y)$
Вынесем $(y-x)$ за скобки, изменив знак у второго слагаемого:
$= xy(y - x) - z^2(y - x) = (y - x)(xy - z^2)$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{z(y - x)}{(y - x)(xy - z^2)}$.
Сократим общий множитель $(y-x)$:
$\frac{z\cancel{(y - x)}}{\cancel{(y - x)}(xy - z^2)} = \frac{z}{xy - z^2}$.
Ответ: $\frac{z}{xy - z^2}$.

г) Исходное выражение: $\frac{a(b+1)^2 - b(a+1)^2}{a(b+1) - b(a+1)}$.
Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:
$a(b+1) - b(a+1) = ab + a - ba - b = a - b$.
Теперь преобразуем числитель. Раскроем скобки:
$a(b+1)^2 - b(a+1)^2 = a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1)$
$= ab^2 + 2ab + a - ba^2 - 2ab - b$
Взаимно уничтожим члены $+2ab$ и $-2ab$:
$= ab^2 + a - ba^2 - b$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$= (ab^2 - b) - (a^2b - a) = b(ab - 1) - a(ab - 1) = (b - a)(ab - 1)$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{(b - a)(ab - 1)}{a - b}$.
Так как $b-a = -(a-b)$, то:
$\frac{-(a - b)(ab - 1)}{a - b}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{-\cancel{(a-b)}(ab-1)}{\cancel{a-b}} = -(ab-1) = 1 - ab$.
Ответ: $1 - ab$.