Номер 224, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 224, страница 57.

224. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-2x}{x-3}-\frac{4x-9}{x-3}=\frac{x^2-2x-4x+9}{x-3}= \\ =\frac{x^2-6x+9}{x-3}=\frac{{(x-3)}^2}{x-3}=x-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y^2-10}{y-8}-\frac{54}{y-8}=\frac{y^2-10-54}{y-8}= \\ =\frac{y^2-64}{y-8}=\frac{(y-8)(y+8)}{y-8}=y+8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a^2}{a^2-b^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2}=\frac{a^2}{a^2-b^2}-\frac{b^2}{a^2-b^2}= \\ =\frac{a^2-b^2}{a^2-b^2}=1 \end{gathered}$$

г) $\frac{x^2-2x}{x^2-y^2}-\frac{2y-y^2}{y^2-x^2}=\frac{x^2-2x}{x^2-y^2}+\frac{2y-y^2}{x^2-y^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2-2x+2y-y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2-y^2)-(2x-2y)}{x^2-y^2}= \\ =\frac{(x-y)(x+y)-2(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y)(x+y-2)}{(x-y)(x+y)}= \\ =\frac{x+y-2}{x+y} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3}$, выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Для этого нужно вычесть числитель второй дроби из числителя первой:

$\frac{x^2 - 2x - (4x - 9)}{x - 3} = \frac{x^2 - 2x - 4x + 9}{x - 3} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$

Числитель полученной дроби, $x^2 - 6x + 9$, является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Подставим это в нашу дробь и сократим:

$\frac{(x - 3)^2}{x - 3} = x - 3$ (при условии, что $x \ne 3$)

Ответ: $x-3$

б) Упростим выражение $\frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8}$. Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{y^2 - 10 - 54}{y - 8} = \frac{y^2 - 64}{y - 8}$

Числитель $y^2 - 64$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - 64 = y^2 - 8^2 = (y - 8)(y + 8)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель:

$\frac{(y - 8)(y + 8)}{y - 8} = y + 8$ (при условии, что $y \ne 8$)

Ответ: $y+8$

в) Рассмотрим выражение $\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2}$. Знаменатели этих дробей, $a^2 - b^2$ и $b^2 - a^2$, являются противоположными выражениями, так как $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого во второй дроби вынесем минус из знаменателя и поставим его перед дробью:

$\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{-(a^2 - b^2)} = \frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1$ (при условии, что $a^2 - b^2 \ne 0$)

Ответ: $1$

г) Упростим выражение $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}$. Знаменатель второй дроби $y^2 - x^2$ противоположен знаменателю первой $x^2 - y^2$. Приведем их к общему знаменателю $x^2 - y^2$:

$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{-(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Сложим числители:

$\frac{x^2 - 2x + 2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Сгруппируем слагаемые в числителе для дальнейшего разложения на множители:

$\frac{(x^2 - y^2) - (2x - 2y)}{x^2 - y^2}$

Разложим на множители выражения в скобках. $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и $2x - 2y = 2(x - y)$. Знаменатель также разложим по формуле разности квадратов.

$\frac{(x - y)(x + y) - 2(x - y)}{(x - y)(x + y)}$

Вынесем в числителе общий множитель $(x - y)$ за скобку:

$\frac{(x - y)(x + y - 2)}{(x - y)(x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ (при условии, что $x \ne y$):

$\frac{x + y - 2}{x + y}$

Ответ: $\frac{x+y-2}{x+y}$