Номер 231, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 231, страница 58.

231. Представьте в виде дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x+y+\frac{x-y}{4}=\frac{4(x+y)+x-y}{4}= \\ =\frac{4x+4y+x-y}{4}=\frac{5x+3y}{4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}m+n-\frac{1+mn}{n}=\frac{(m+n)n-(1+mn)}{n}= \\ =\frac{mn+n^2-1-mn}{n}=\frac{n^2-1}{n} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}a-\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}= \\ =\frac{a(a+b+c)-(ab+ac+bc)}{a+b+c}= \\ =\frac{a^2+\bcancel{ab}+\cancel{ac}-\bcancel{ab}-\cancel{ac}-bc}{a+b+c}=\frac{a^2-bc}{a+b+c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{a}^2-b^2-\frac{a^3-b^3}{a+b}= \\ =\frac{(a^2-b^2)(a+b)-(a^3-b^3)}{a+b}= \\ =\frac{{\bcancel{a}}^3+a^{2}b-a{b}^2-{\cancel{b}}^3-{\bcancel{a}}^3+{\cancel{b}}^3}{a+b}=\frac{a^{2}b-a{b}^2}{a+b} \end{gathered}$$

а) $x + y + \frac{x-y}{4}$

Чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель в данном случае равен 4. Представим $x$ как $\frac{4x}{4}$ и $y$ как $\frac{4y}{4}$.

$x + y + \frac{x-y}{4} = \frac{4x}{4} + \frac{4y}{4} + \frac{x-y}{4}$

Теперь, когда у всех слагаемых одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4x + 4y + (x-y)}{4} = \frac{4x + 4y + x - y}{4}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(4x+x) + (4y-y)}{4} = \frac{5x + 3y}{4}$

Ответ: $\frac{5x + 3y}{4}$

б) $m + n - \frac{1+mn}{n}$

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $n$. Для этого представим $m$ как $\frac{mn}{n}$ и $n$ как $\frac{n^2}{n}$.

$m + n - \frac{1+mn}{n} = \frac{mn}{n} + \frac{n^2}{n} - \frac{1+mn}{n}$

Объединим все под одной дробной чертой. Обратим внимание, что знак "минус" перед последней дробью относится ко всему ее числителю, поэтому числитель нужно взять в скобки.

$\frac{mn + n^2 - (1+mn)}{n} = \frac{mn + n^2 - 1 - mn}{n}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{(mn-mn) + n^2 - 1}{n} = \frac{n^2 - 1}{n}$

Ответ: $\frac{n^2 - 1}{n}$

в) $a - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$

Для выполнения вычитания приведем уменьшаемое $a$ к общему знаменателю $a+b+c$.

$a = \frac{a(a+b+c)}{a+b+c} = \frac{a^2+ab+ac}{a+b+c}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a^2+ab+ac}{a+b+c} - \frac{ab+ac+bc}{a+b+c} = \frac{(a^2+ab+ac) - (ab+ac+bc)}{a+b+c}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2+ab+ac-ab-ac-bc}{a+b+c} = \frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

Ответ: $\frac{a^2 - bc}{a+b+c}$

г) $a^2 - b^2 - \frac{a^3-b^3}{a+b}$

Приведем выражение $a^2 - b^2$ к общему знаменателю $a+b$.

$a^2 - b^2 = \frac{(a^2 - b^2)(a+b)}{a+b}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(a^2 - b^2)(a+b)}{a+b} - \frac{a^3-b^3}{a+b} = \frac{(a^2 - b^2)(a+b) - (a^3-b^3)}{a+b}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим $(a^2 - b^2)(a+b)$:

$(a^2 - b^2)(a+b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b - b^2 \cdot a - b^2 \cdot b = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

Подставим полученное выражение в числитель и упростим:

$\frac{(a^3 + a^2b - ab^2 - b^3) - (a^3-b^3)}{a+b} = \frac{a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 - a^3 + b^3}{a+b}$

$\frac{(a^3 - a^3) + ( -b^3 + b^3) + a^2b - ab^2}{a+b} = \frac{a^2b - ab^2}{a+b}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $ab$:

$\frac{ab(a-b)}{a+b}$

Ответ: $\frac{ab(a-b)}{a+b}$