Номер 237, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 237, страница 59.

237. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+ \\ +\frac{1}{c(c-a)(c-b)}=\frac{1}{abc} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}= \\ =\frac{1}{a(a-b)(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)(a-c)}= \\ =\frac{1}{a}·\frac{1}{a-b}·\frac{1}{a-c}-\frac{1}{b}·\frac{1}{b-c}·\frac{1}{a-b}= \\ =\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{a}·\frac{1}{a-c}-\frac{1}{b}·\frac{1}{b-c}\right)= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{b(b-c)-a(a-c)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{b^2-bc-a^2+ac}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{(b^2-a^2)-(bc-ac)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{(b-a)(b+a)-c(b-a)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{(b-a)(a+b-c)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =-\frac{1}{a-b}·\frac{(a-b)(a+b-c)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =-\frac{a+b-c}{ab(a-c)(b-c)}=\frac{c-a-b}{ab(a-c)(b-c)} \\ 2) \frac{c-a-b}{ab(a-c)(b-c)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \\ =\frac{c-a-b}{ab(a-c)(b-c)}+\frac{1}{c(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{(c-a-b)c+ab}{abc(a-c)(b-c)}=\frac{c^2-ac-bc+ab}{abc(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{(c^2-ac)-(bc-ab)}{abc(a-c)(b-c)}=\frac{c(c-a)-b(c-a)}{abc(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{(c-a)(c-b)}{abc(c-a)(c-b)}=\frac{1}{abc} \end{gathered}$$

б) $\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2}{(y-x)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}=1$

$$\begin{gathered} 1) \frac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2}{(y-x)(y-z)}= \\ =\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}-\frac{y^2}{(x-y)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}\left(\frac{x^2}{x-z}-\frac{y^2}{y-z}\right)= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{x^2(y-z)-y^2(x-z)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{x^{2}y-x^{2}z-y^{2}x+y^{2}z}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{(x^{2}y-y^{2}x)-(x^{2}z-y^{2}z)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{xy(x-y)-z(x^2-y^2)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{xy(x-y)-z(x-y)(x+y)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{(x-y)(xy-z(x+y\left)\right)}{(x-z)(y-z)}=\frac{xy-zx-zy}{(x-z)(y-z)} \\ 2) \frac{xy-zx-zy}{(x-z)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}= \\ =\frac{xy-zx-zy+z^2}{(x-z)(y-z)}=\frac{(xy-zx)-(zy-z^2)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{x(y-z)-z(y-z)}{(x-z)(y-z)}=\frac{(y-z)(x-z)}{(x-z)(y-z)}=1 \end{gathered}$$

а) $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $

Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы множители в них были одинаковыми. Используем свойства $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$.

$ \frac{1}{b(b-c)(b-a)} = \frac{1}{b(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{b(a-b)(b-c)} $

$ \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \frac{1}{c(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $abc(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сложим числители:

$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Теперь упростим числитель, раскрыв скобки:

$ bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:

$ (a^2b - a^2c) - (ab^2 - ac^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $

Вынесем общий множитель $(b-c)$, используя формулу разности квадратов $b^2-c^2=(b-c)(b+c)$:

$ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) $

Раскроем скобки внутри второго множителя и сгруппируем:

$ (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c) $

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b, b \neq c, c \neq a$):

$ \frac{1}{abc} $

Ответ: $ \frac{1}{abc} $

б) $ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} $

Преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы привести их к общему виду. Используем свойства $y-x = -(x-y)$, $z-x = -(x-z)$ и $z-y = -(y-z)$.

$ \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} = \frac{y^2}{-(x-y)(y-z)} = -\frac{y^2}{(x-y)(y-z)} $

$ \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} = \frac{z^2}{(-(x-z))(-(y-z))} = \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-z)} + \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Общий знаменатель равен $(x-y)(x-z)(y-z)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x^2(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} - \frac{y^2(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} + \frac{z^2(x-y)}{(x-z)(y-z)(x-y)} $

Запишем все под одной чертой дроби:

$ \frac{x^2(y-z) - y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Упростим числитель. Раскроем скобки:

$ x^2y - x^2z - xy^2 + y^2z + xz^2 - yz^2 $

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$ x^2(y-z) - x(y^2-z^2) + (y^2z-yz^2) = x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z) $

Вынесем общий множитель $(y-z)$:

$ (y-z)(x^2 - x(y+z) + yz) $

Раскроем скобки во втором множителе и сгруппируем:

$ (y-z)(x^2 - xy - xz + yz) = (y-z)(x(x-y) - z(x-y)) = (y-z)(x-y)(x-z) $

Числитель оказался равен $(x-y)(y-z)(x-z)$. Подставим его обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Сокращаем дробь (при условии, что $x \neq y, y \neq z, z \neq x$):

$ 1 $

Ответ: $ 1 $