Номер 242, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 242, страница 59.

242. Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:

a) $\frac{5x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}=\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}= \\ =\frac{ax+3a+bx-2b}{(x-2)(x+3)}=\frac{(ax+bx)+(3a-2b)}{(x-2)(x+3)}= \\ =\frac{(a+b)x+(3a-2b)}{(x-2)(x+3)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{ll}a+b=5& /·2\\ 3a-2b=0& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2a+2b=10\\ 3a-2b=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5a=10\\ a+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\right.$

Ответ a=2; b=3

б) $\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{ax+2a-bx+5b}{(x-5)(x+2)}=\frac{(ax-bx)+(2a+5b)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{(a-b)x+(2a+5b)}{(x-5)(x+2)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{ll}a-b=5& /·5\\ 2a+5b=31& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5a-5b=25\\ 2a+5b=31\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7a=56\\ a-b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a=8\\ 8-b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=3\end{array}\right.$

Ответ: a=8; b=3

а) Чтобы найти значения $a$ и $b$, приведём дроби в правой части тождества к общему знаменателю:

$\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}$

Таким образом, исходное тождество принимает вид:

$\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}$

Это равенство будет тождеством, если числители дробей равны для всех допустимых значений $x$ (то есть при $x \neq 2$ и $x \neq -3$). Приравняем числители:

$5x = a(x+3) + b(x-2)$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$. Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ можно использовать два метода.

Метод 1: Метод неопределенных коэффициентов.

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые при $x$ и свободные члены:

$5x = ax + 3a + bx - 2b$

$5x + 0 = (a+b)x + (3a-2b)$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях $x$. Приравняем коэффициенты при $x$ и свободные члены:

$\begin{cases} a+b = 5 \\ 3a-2b = 0 \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 5 - b$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(5-b) - 2b = 0$

$15 - 3b - 2b = 0$

$15 - 5b = 0$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдём $a$:

$a = 5 - b = 5 - 3 = 2$

Метод 2: Метод частных значений.

Так как равенство $5x = a(x+3) + b(x-2)$ верно для любого $x$, подставим в него значения $x$, которые обращают в ноль один из множителей в правой части. Это значения $x=2$ и $x=-3$.

Пусть $x=2$:

$5 \cdot 2 = a(2+3) + b(2-2)$

$10 = a \cdot 5 + b \cdot 0$

$5a = 10 \implies a = 2$

Пусть $x=-3$:

$5 \cdot (-3) = a(-3+3) + b(-3-2)$

$-15 = a \cdot 0 + b \cdot (-5)$

$-5b = -15 \implies b = 3$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $a=2, b=3$.

б) Поступаем аналогично. Приводим правую часть к общему знаменателю:

$\frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) - b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$

Приравниваем числители левой и правой частей исходного тождества:

$5x + 31 = a(x+2) - b(x-5)$

Воспользуемся методом частных значений, подставляя в равенство корни знаменателей $x=5$ и $x=-2$.

Пусть $x=5$:

$5 \cdot 5 + 31 = a(5+2) - b(5-5)$

$25 + 31 = a \cdot 7 - b \cdot 0$

$56 = 7a$

$a = \frac{56}{7} = 8$

Пусть $x=-2$:

$5 \cdot (-2) + 31 = a(-2+2) - b(-2-5)$

$-10 + 31 = a \cdot 0 - b(-7)$

$21 = 7b$

$b = \frac{21}{7} = 3$

Проверим результат методом неопределенных коэффициентов:

$5x + 31 = ax + 2a - bx + 5b$

$5x + 31 = (a-b)x + (2a+5b)$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a-b = 5 \\ 2a+5b = 31 \end{cases}$

Подставим найденные значения $a=8$ и $b=3$:

$8-3 = 5$ (Верно)

$2(8)+5(3) = 16+15 = 31$ (Верно)

Решение найдено правильно.

Ответ: $a=8, b=3$.