Номер 248, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 248, страница 60.

248. Упростите выражение:

a) $\left(x-\frac{4xy}{x+y}+y\right)·\left(x+\frac{4xy}{x-y}-y\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{x(x+y)-4xy+y(x+y)}{x+y}·\frac{x(x-y)+4xy-y(x-y)}{x-y}= \\ =\frac{x^2+xy-4xy+xy+y^2}{x+y}·\frac{x^2-xy+4xy-xy+y^2}{x-y}= \\ =\frac{x^2-2xy+y^2}{x+y}·\frac{x^2+2xy+y^2}{x-y}=\frac{{(x-y)}^2·{(x+y)}^2}{(x+y)(x-y)}= \\ =(x-y)(x+y)=x^2-y^2 \end{gathered}$$

б) $\left(a-\frac{1-2a^2}{1-a}+1\right):\left(1-\frac{1}{1-a}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(1-a)-(1-2a^2)+(1-a)}{1-a}:\frac{1-a-1}{1-a}= \\ =\frac{a-a^2-1+2a^2+1-a}{1-a}·\frac{1-a}{-a}=-\frac{a^2}{a}=-a \end{gathered}$$

а) Для упрощения данного выражения выполним действия в каждой скобке по отдельности, а затем перемножим результаты.

1. Упростим выражение в первой скобке: $x - \frac{4xy}{x+y} + y$.
Сначала сгруппируем $x$ и $y$ и приведем выражение к общему знаменателю $(x+y)$:
$(x+y) - \frac{4xy}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{x+y} - \frac{4xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y}$.
Раскроем квадрат суммы в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x+y}$.
Теперь свернем числитель по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\frac{(x-y)^2}{x+y}$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $x + \frac{4xy}{x-y} - y$.
Сгруппируем $x$ и $-y$ и приведем к общему знаменателю $(x-y)$:
$(x-y) + \frac{4xy}{x-y} = \frac{(x-y)(x-y)}{x-y} + \frac{4xy}{x-y} = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y}$.
Раскроем квадрат разности в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}{x-y} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y}$.
Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\frac{(x+y)^2}{x-y}$.

3. Перемножим полученные выражения:
$\frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-y}$.
Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на общие множители $(x-y)$ и $(x+y)$:
$(x-y) \cdot (x+y)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

б) Упростим сначала делимое и делитель, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое): $a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1$.
Сгруппируем $a$ и $1$ и приведем к общему знаменателю $(1-a)$:
$(a+1) - \frac{1-2a^2}{1-a} = \frac{(a+1)(1-a)}{1-a} - \frac{1-2a^2}{1-a}$.
В числителе первой дроби применим формулу разности квадратов $(1+a)(1-a) = 1-a^2$ и выполним вычитание дробей:
$\frac{1-a^2 - (1-2a^2)}{1-a} = \frac{1-a^2-1+2a^2}{1-a}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^2}{1-a}$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель): $1 - \frac{1}{1-a}$.
Приведем к общему знаменателю $(1-a)$:
$\frac{1 \cdot (1-a)}{1-a} - \frac{1}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = \frac{-a}{1-a}$.

3. Выполним деление полученных выражений:
$\frac{a^2}{1-a} : \frac{-a}{1-a}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2}{1-a} \cdot \frac{1-a}{-a}$.
Сократим общие множители $(1-a)$ и $a$ (при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq 0$):
$\frac{a}{-1} = -a$.

Ответ: $-a$.