Номер 247, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 247, страница 60.

247. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}ab+\frac{ab}{a+b}\left(\frac{a+b}{a-b}-a-b\right)= \\ =ab+\frac{ab}{a+b}·\frac{a+b-(a+b)(a-b)}{a-b}= \\ =ab+\frac{ab}{a+b}·\frac{a+b-(a^2-b^2)}{a-b}= \\ =ab+\frac{ab}{a+b}·\frac{(a+b)(1-(a-b\left)\right)}{a-b}= \\ =ab+\frac{ab(1-a+b)}{a-b}= \\ =\frac{ab(a-b)+ab(1-a+b)}{a-b}= \\ =\frac{ab(a-b+1-a+b)}{a-b}=\frac{ab}{a-b} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2\right)·\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}=-xy$

$$\begin{gathered} 1) \frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2=\frac{y(y-x)}{x(x+y)}-(xy-y^2)= \\ =\frac{y(y-x)-(xy-y^2)x(x+y)}{x(x+y)}= \\ =\frac{y(y-x)-yx(x-y)(x+y)}{x(x+y)}= \\ =\frac{y(y-x)+xy(y-x)(x+y)}{x(x+y)}= \\ =\frac{(y-x)(y+xy(x+y\left)\right)}{x(x+y)}=\frac{(y-x)(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x(x+y)} \\ 2) \frac{(y-x)(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x(x+y)}·\frac{x}{x-y}= \\ =\frac{-(x-y)(y+x^{2}y+x{y}^2)}{(x+y)(x-y)}=\frac{-(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x+y} \\ 3) \frac{-(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x+y}+\frac{y}{x+y}= \\ =\frac{-y-x^{2}y-x{y}^2+y}{x+y}=\frac{-xy(x+y)}{x+y}=-xy \end{gathered}$$

в) $\left(\frac{1}{{(2a-b)}^2}+\frac{2}{4a^2-b^2}+\frac{1}{{(2a+b)}^2}\right)\times$

$$\begin{gathered} \times \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}= \\ =\left(\frac{1}{{(2a-b)}^2}+\frac{2}{(2a-b)(2a+b)}+\frac{1}{{(2a+b)}^2}\right)\times \\ \times \frac{{(2a+b)}^2}{16a}= \\ =\frac{{(2a+b)}^2+2(2a-b)(2a+b)+{(2a-b)}^2}{{(2a-b)}^2{(2a+b)}^2}\times \\ \times \frac{{(2a+b)}^2}{16a}=\frac{\left(\right(2a+b)+{(2a-b))}^2}{{(2a-b)}^2·16a}= \\ =\frac{{(2a+b+2a-b)}^2}{{(2a-b)}^2·16a}=\frac{{\left(4a\right)}^2}{{(2a-b)}^2·16a}= \\ =\frac{16a^2}{{(2a-b)}^2·16a}=\frac{a}{{(2a-b)}^2} \end{gathered}$$

г) $\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}:\left(\frac{1}{{(c+2)}^2}+\frac{1}{{(c-2)}^2}+\frac{2}{c^2-4}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}:\frac{{(c-2)}^2+{(c+2)}^2+2(c-2)(c+1)}{{(c-2)}^2{(c+2)}^2}= \\ =\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}:\frac{\left(\right(c-2)+{(c+2))}^2}{{(c-2)}^2{(c+2)}^2}= \\ =\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}·\frac{{(c-2)}^2+{(c+2)}^2}{(c-2+c+2)}= \\ =\frac{4c^2·{(c+2)}^2}{{(c-2)}^2·{\left(2c\right)}^2}=\frac{4c^2·{(c+2)}^2}{{(c-2)}^2·4c^2}=\frac{{(c+2)}^2}{{(c-2)}^2} \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} - a - b \right)$ начнем с преобразования выражения в скобках.
1. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:
$\frac{a+b}{a-b} - a - b = \frac{a+b}{a-b} - (a+b) = (a+b) \left( \frac{1}{a-b} - 1 \right)$.
2. Упростим выражение во второй, меньшей, скобке, приведя к общему знаменателю:
$\frac{1}{a-b} - 1 = \frac{1 - (a-b)}{a-b} = \frac{1-a+b}{a-b}$.
3. Таким образом, все выражение в больших скобках равно $(a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$.
4. Подставим это обратно в исходное выражение:
$ab + \frac{ab}{a+b} \cdot (a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$.
5. Сократим множитель $(a+b)$:
$ab + ab \left( \frac{1-a+b}{a-b} \right)$.
6. Приведем к общему знаменателю $(a-b)$:
$\frac{ab(a-b)}{a-b} + \frac{ab(1-a+b)}{a-b} = \frac{a^2b - ab^2 + ab - a^2b + ab^2}{a-b}$.
7. Сократим подобные члены в числителе:
$\frac{(a^2b - a^2b) + (-ab^2 + ab^2) + ab}{a-b} = \frac{ab}{a-b}$.
Ответ: $\frac{ab}{a-b}$.

б) Упростим выражение $\left( \frac{y^2-xy}{x^2+xy} - xy + y^2 \right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}$.
1. Сначала преобразуем члены в скобках. Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и два других члена:
$\frac{y^2-xy}{x^2+xy} = \frac{y(y-x)}{x(x+y)} = \frac{-y(x-y)}{x(x+y)}$
$-xy+y^2 = y(y-x) = -y(x-y)$
2. Выражение в скобках принимает вид:
$\frac{-y(x-y)}{x(x+y)} - y(x-y)$.
3. Вынесем общий множитель $-y(x-y)$:
$-y(x-y)\left(\frac{1}{x(x+y)} + 1\right)$.
4. Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{1}{x(x+y)} + \frac{x(x+y)}{x(x+y)} = \frac{1+x^2+xy}{x(x+y)}$.
5. Теперь все выражение в больших скобках равно: $-y(x-y)\frac{1+x^2+xy}{x(x+y)}$.
6. Умножим полученный результат на $\frac{x}{x-y}$:
$-y(x-y)\frac{1+x^2+xy}{x(x+y)} \cdot \frac{x}{x-y}$.
7. Сократим общие множители $x$ и $(x-y)$:
$-y \frac{1+x^2+xy}{x+y} = \frac{-y-x^2y-xy^2}{x+y}$.
8. Прибавим оставшийся член $\frac{y}{x+y}$:
$\frac{-y-x^2y-xy^2}{x+y} + \frac{y}{x+y} = \frac{-y-x^2y-xy^2+y}{x+y} = \frac{-x^2y-xy^2}{x+y}$.
9. Вынесем в числителе общий множитель $-xy$:
$\frac{-xy(x+y)}{x+y}$.
10. Сократим $(x+y)$ и получим конечный результат.
Ответ: $-xy$.

в) Упростим выражение $\left( \frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{4a^2-b^2} + \frac{1}{(2a+b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}$.
1. Выражение в скобках является полным квадратом суммы. Заметим, что $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$:
$\frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{(2a-b)(2a+b)} + \frac{1}{(2a+b)^2} = \left( \frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} \right)^2$.
2. Упростим сумму дробей в скобках:
$\frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} = \frac{(2a+b)+(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}$.
3. Возведем результат в квадрат:
$\left( \frac{4a}{4a^2-b^2} \right)^2 = \frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2}$.
4. Упростим второй множитель исходного выражения, заметив в числителе полный квадрат:
$\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a} = \frac{(2a+b)^2}{16a}$.
5. Перемножим полученные выражения:
$\frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a}$.
6. Подставим $(4a^2-b^2) = (2a-b)(2a+b)$ и сократим:
$\frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{a}{(2a-b)^2}$.
Ответ: $\frac{a}{(2a-b)^2}$.

г) Упростим выражение $\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \left( \frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2-4} \right)$.
1. Выражение в скобках (делитель) представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $c^2-4 = (c-2)(c+2)$:
$\frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{(c+2)(c-2)} = \left( \frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} \right)^2$.
2. Упростим сумму дробей в скобках:
$\frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} = \frac{(c-2)+(c+2)}{(c+2)(c-2)} = \frac{2c}{c^2-4}$.
3. Возведем результат в квадрат:
$\left( \frac{2c}{c^2-4} \right)^2 = \frac{4c^2}{(c^2-4)^2}$.
4. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{4c^2}{(c-2)^4} \cdot \frac{(c^2-4)^2}{4c^2}$.
5. Сократим $4c^2$:
$\frac{(c^2-4)^2}{(c-2)^4}$.
6. Подставим $c^2-4=(c-2)(c+2)$:
$\frac{((c-2)(c+2))^2}{(c-2)^4} = \frac{(c-2)^2(c+2)^2}{(c-2)^4}$.
7. Сократим $(c-2)^2$:
$\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}$.
Ответ: $\left(\frac{c+2}{c-2}\right)^2$.