Номер 249, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 249, страница 61.

249. Докажите тождество

$$\begin{gathered} \frac{1}{p-2q}+\frac{6q}{4q^2-p^2}-\frac{2}{p+2q}= \\ =-\frac{1}{2p}·\left(\frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2}+1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{p-2q}+\frac{6q}{(2q-p)(2q+p)}-\frac{2}{p+2q}= \\ =-\frac{1}{2p}·\frac{p^2+4q^2+p^2-4q^2}{p^2-4q^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{p-2q}-\frac{6q}{(p-2q)(p+2q)}-\frac{2}{p+2q}= \\ =-\frac{1}{2p}·\frac{2p^2}{p^2-4q^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{p+2q-6q-2(p-2q)}{(p-2q)(p+2q)}=-\frac{p}{p^2-4q^2}= \\ =\frac{p-4q-2p+4q}{p^2-4q^2}=-\frac{p}{p^2-4q^2} \end{gathered}$$

$\frac{-p}{p^2-4q^2}=-\frac{p}{p^2-4q^2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q} $

Заметим, что знаменатель второй дроби $4q^2 - p^2$ можно разложить по формуле разности квадратов и преобразовать: $4q^2 - p^2 = (2q-p)(2q+p) = -(p-2q)(p+2q) = -(p^2-4q^2)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{-(p^2-4q^2)} - \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{p-2q} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2}{p+2q} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $p^2 - 4q^2 = (p-2q)(p+2q)$:

$ \frac{1 \cdot (p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2 \cdot (p-2q)}{(p+2q)(p-2q)} = \frac{(p+2q) - 6q - 2(p-2q)}{p^2-4q^2} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ p+2q - 6q - 2p + 4q = (p-2p) + (2q-6q+4q) = -p $

Таким образом, левая часть равна $ \frac{-p}{p^2 - 4q^2} $.

Преобразование правой части:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 \right) $

Сначала упростим выражение в скобках, приведя $1$ к общему знаменателю:

$ \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + \frac{p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} $

Теперь подставим результат обратно в выражение для правой части и выполним умножение:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} = -\frac{2p^2}{2p(p^2 - 4q^2)} $

Сократив дробь на $2p$, получим:

$ -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.