Номер 254, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 254, страница 61.

254. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч, вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили заказы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов работа была закончена?

Используя формулу среднего гармонического, получим:

$$\begin{gathered} t=\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{9}{72}}+{\displaystyle \frac{8}{72}}+{\displaystyle \frac{6}{72}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{23}{72}}}= \\ =\frac{3·72}{23}=\frac{216}{23}=9\frac{9}{23}\left(\text{ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: через $9\frac{9}{23}\text{ч}$

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждой вязальщицы, а затем их общую производительность при совместной работе. Примем весь объем одного заказа за 1.

1. Найдем производительность каждой вязальщицы.
Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Первая вязальщица выполняет заказ за 8 часов, значит, ее производительность $P_1 = \frac{1}{8}$ заказа в час.
• Вторая вязальщица выполняет заказ за 9 часов, ее производительность $P_2 = \frac{1}{9}$ заказа в час.
• Ученица выполняет заказ за 12 часов, ее производительность $P_3 = \frac{1}{12}$ заказа в час.

2. Найдем общую производительность.
При совместной работе производительности складываются:
$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 8, 9 и 12 это 72.
$P_{общ} = \frac{9}{72} + \frac{8}{72} + \frac{6}{72} = \frac{9 + 8 + 6}{72} = \frac{23}{72}$.
Таким образом, работая вместе, они выполняют $\frac{23}{72}$ часть одного заказа за час.

3. Найдем общее время на выполнение всех заказов.
Вязальщицы объединили три одинаковых заказа, поэтому общий объем работы $A = 3$.
Время $t$ для выполнения работы находится по формуле $t = \frac{A}{P_{общ}}$.
$t = \frac{3}{\frac{23}{72}} = 3 \cdot \frac{72}{23} = \frac{216}{23}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{216}{23} = 9 \frac{9}{23}$ часа.

Ответ: работа была закончена через $9 \frac{9}{23}$ часа.