Номер 260, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

260. Найдите область определения функции и постройте её график:

a) $y=\frac{36}{{(x+1)}^2-{(x-1)}^2}$

$$\begin{gathered} {(x+1)}^2-{(x-1)}^2\ne 0 \\ (x+1-(x-1\left)\right)(x+1+x-1)\ne 0 \\ (x+1-x+1)·2x\ne 0 \\ 2·2x\ne 0 \\ 4x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме 0.

$y=\frac{36}{x}$

б) $y=\frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x}$

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2-3x\ne 0\\ 3-x\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x(x-3)\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{cc}x\ne 0;& x\ne 3\\ x\ne 3& \end{array}\right.$

Область определения функции: все числа, кроме 0 и 3.

$$\begin{gathered} \frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x}=\frac{18-12x}{x(x-3)}+\frac{6}{x-3}= \\ =\frac{18-12x+6x}{x(x-3)}=\frac{18-6x}{x(x-3)}=\frac{6(3-x)}{x(x-3)}= \\ =\frac{-6(x-3)}{x(x-3)}=-\frac{6}{x} \\ y=-\frac{6}{x} \end{gathered}$$

в) $y=\frac{16}{{(2-x)}^2-{(2+x)}^2}$

$$\begin{gathered} {(2-x)}^2-{(2+x)}^2\ne 0 \\ (2-x-(2+x\left)\right)(2-x+2+x)\ne 0 \\ (2-x-2-x)·4\ne 0 \\ -2x·4\ne 0 \\ -8x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме 0.

$y=\frac{16}{x}$

г) $y=\frac{3x(x+1)-3x^2+15}{x(x+5)}$

$$\begin{gathered} x(x+5)=0 \\ \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+5\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме -5 и 0.

$$\begin{gathered} \frac{3x(x+1)-3x^2+15}{x(x+5)}=\frac{3x^2+3x-3x^2+15}{x(x+5)}= \\ \frac{3x+15}{x(x+5)}=\frac{3(x+5)}{x(x+5)}=\frac{3}{x} \\ y=\frac{3}{x} \end{gathered}$$

Найдём область определения функции и упростим её формулу перед построением графика.

а) $y = \frac{36}{(x + 1)^2 - (x - 1)^2}$

1. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов или раскрыв скобки:
Знаменатель: $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = ((x + 1) - (x - 1))((x + 1) + (x - 1)) = (x + 1 - x + 1)(x + 1 + x - 1) = 2 \cdot 2x = 4x$.

2. Получаем функцию:
$y = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x}$

3. Область определения: знаменатель не равен нулю ($4x \neq 0 \implies x \neq 0$).
Область определения: все действительные числа, кроме $x = 0$ ($x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$).

4. Построение графика:
Графиком функции $y = \frac{9}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях.

б) $y = \frac{18 - 12x}{x^2 - 3x} - \frac{6}{3 - x}$

1. Упростим выражения в числителе и знаменателе первой дроби: вынесем общий множитель в числителе ($6(3 - 2x)$ или $-6(2x - 3)$) и в знаменателе ($x(x - 3)$).
Во второй дроби вынесем минус из знаменателя: $\frac{6}{3 - x} = -\frac{6}{x - 3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:
Общий знаменатель: $x(x - 3)$.
$y = \frac{18 - 12x}{x(x - 3)} + \frac{6}{x - 3} = \frac{18 - 12x + 6x}{x(x - 3)} = \frac{18 - 6x}{x(x - 3)} = \frac{-6(x - 3)}{x(x - 3)}$

Сократим дробь на $(x - 3)$ при условии, что $x \neq 3$:
$y = -\frac{6}{x}$

2. Область определения: исходный знаменатель не равен нулю ($x(x - 3) \neq 0$), откуда $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

3. Построение графика:
График функции $y = -\frac{6}{x}$ — гипербола во второй и четвертой четвертях, с «выколотой» точкой при $x = 3$ (соответствующее значение $y = -2$).

в) $y = \frac{16}{(2 - x)^2 - (2 + x)^2}$

1. Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:
$((2 - x) - (2 + x))((2 - x) + (2 + x)) = (2 - x - 2 - x)(2 - x + 2 + x) = (-2x) \cdot 4 = -8x$.

2. Получаем функцию:
$y = \frac{16}{-8x} = -\frac{2}{x}$

3. Область определения: $-8x \neq 0 \implies x \neq 0$ ($x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$).

4. Построение графика:
Графиком является гипербола $y = -\frac{2}{x}$, расположенная во второй и четвертой координатных четвертях.

г) $y = \frac{3x(x + 1) - 3x^2 + 15}{x(x + 5)}$

1. Упростим числитель:
$3x^2 + 3x - 3x^2 + 15 = 3x + 15 = 3(x + 5)$

2. Подставим в дробь:
$y = \frac{3(x + 5)}{x(x + 5)}$

Сократим дробь на $(x + 5)$ при условии, что $x \neq -5$:
$y = \frac{3}{x}$

3. Область определения: $x(x + 5) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и возбуждается условие сокращения $x \neq -5$.
Область определения: все действительные числа, кроме $0$ и $-5$.

4. Построение графика:
График функции $y = \frac{3}{x}$ (гипербола в первой и третьей четвертях) с «выколотой» точкой при $x = -5$ (где $y = -0,6$).