Номер 260, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 260, страница 62.

260. Найдите область определения функции и постройте её график:

a) $y=\frac{36}{{(x+1)}^2-{(x-1)}^2}$

$$\begin{gathered} {(x+1)}^2-{(x-1)}^2\ne 0 \\ (x+1-(x-1\left)\right)(x+1+x-1)\ne 0 \\ (x+1-x+1)·2x\ne 0 \\ 2·2x\ne 0 \\ 4x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме 0.

$y=\frac{36}{x}$

x	3	4	6	9	12	-3	-4	-6	-9	-12
y	12	9	6	4	3	-12	-9	-6	-4	-3

б) $y=\frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x}$

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2-3x\ne 0\\ 3-x\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x(x-3)\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{cc}x\ne 0;& x\ne 3\\ x\ne 3& \end{array}\right.$

Область определения функции: все числа, кроме 0 и 3.

$$\begin{gathered} \frac{18-12x}{x^2-3x}-\frac{6}{3-x}=\frac{18-12x}{x(x-3)}+\frac{6}{x-3}= \\ =\frac{18-12x+6x}{x(x-3)}=\frac{18-6x}{x(x-3)}=\frac{6(3-x)}{x(x-3)}= \\ =\frac{-6(x-3)}{x(x-3)}=-\frac{6}{x} \\ y=-\frac{6}{x} \end{gathered}$$

x	1	2	4	6	-1	-2	-3	-6
y	-6	-3	-1,5	-1	6	3	2	1

в) $y=\frac{16}{{(2-x)}^2-{(2+x)}^2}$

$$\begin{gathered} {(2-x)}^2-{(2+x)}^2\ne 0 \\ (2-x-(2+x\left)\right)(2-x+2+x)\ne 0 \\ (2-x-2-x)·4\ne 0 \\ -2x·4\ne 0 \\ -8x\ne 0 \\ x\ne 0 \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме 0.

$y=\frac{16}{x}$

x	1	2	4	8	16	-1	-2	-4	-8	-16
y	16	8	4	2	1	-16	-8	-4	-2	-1

г) $y=\frac{3x(x+1)-3x^2+15}{x(x+5)}$

$$\begin{gathered} x(x+5)=0 \\ \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+5\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме -5 и 0.

$$\begin{gathered} \frac{3x(x+1)-3x^2+15}{x(x+5)}=\frac{3x^2+3x-3x^2+15}{x(x+5)}= \\ \frac{3x+15}{x(x+5)}=\frac{3(x+5)}{x(x+5)}=\frac{3}{x} \\ y=\frac{3}{x} \end{gathered}$$

x	1	3	-1	-3	0,5	-0,5	6	-6
y	3	1	-3	-1	6	-6	0,5	-0,5

а) $y = \frac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}$

1. Найдём область определения функции.

Область определения функции — это все значения переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. В данном случае знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$(x+1)^2 - (x-1)^2 \neq 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((x+1) - (x-1)) \cdot ((x+1) + (x-1)) \neq 0$

$(x+1-x+1) \cdot (x+1+x-1) \neq 0$

$(2) \cdot (2x) \neq 0$

$4x \neq 0$

$x \neq 0$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Мы уже преобразовали знаменатель: $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \frac{36}{4x} = \frac{9}{x}$

Итак, мы имеем функцию $y = \frac{9}{x}$ при условии, что $x \neq 0$.

3. Построим график.

Графиком функции $y = \frac{9}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=9 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Условие $x \neq 0$ из области определения соответствует вертикальной асимптоте, поэтому на графике нет выколотых точек.

Для построения найдем несколько точек:
при $x=1, y=9$
при $x=3, y=3$
при $x=9, y=1$
при $x=-1, y=-9$
при $x=-3, y=-3$
при $x=-9, y=-1$

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{9}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

---

б) $y = \frac{18-12x}{x^2-3x} - \frac{6}{3-x}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатели дробей в выражении не должны равняться нулю.

Из первого знаменателя: $x^2-3x \neq 0 \Rightarrow x(x-3) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Из второго знаменателя: $3-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Преобразуем выражение, приведя дроби к общему знаменателю.

$y = \frac{18-12x}{x(x-3)} - \frac{6}{-(x-3)} = \frac{18-12x}{x(x-3)} + \frac{6}{x-3}$

Приводим к общему знаменателю $x(x-3)$:

$y = \frac{18-12x + 6x}{x(x-3)} = \frac{18-6x}{x(x-3)}$

Вынесем в числителе общий множитель -6:

$y = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)}$

Сократим дробь на $(x-3)$, учитывая, что $x \neq 3$ из области определения:

$y = -\frac{6}{x}$

Итак, функция может быть записана как $y = -\frac{6}{x}$ при условиях $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

3. Построим график.

Графиком функции является гипербола $y = -\frac{6}{x}$. Так как коэффициент $k=-6 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

Из области определения мы исключили точку $x=3$. Это означает, что на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты, подставив $x=3$ в упрощенную функцию:

$y = -\frac{6}{3} = -2$.

Следовательно, точка $(3, -2)$ не принадлежит графику.

График — это гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, -2)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции – гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(3, -2)$.

---

в) $y = \frac{16}{(2-x)^2 - (2+x)^2}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(2-x)^2 - (2+x)^2 \neq 0$

Используем формулу разности квадратов:

$((2-x) - (2+x)) \cdot ((2-x) + (2+x)) \neq 0$

$(2-x-2-x) \cdot (2-x+2+x) \neq 0$

$(-2x) \cdot (4) \neq 0$

$-8x \neq 0$

$x \neq 0$

Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Знаменатель равен $-8x$. Подставим в исходное уравнение:

$y = \frac{16}{-8x} = -\frac{2}{x}$

Функция имеет вид $y = -\frac{2}{x}$ при $x \neq 0$.

3. Построим график.

Графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ является гипербола. Коэффициент $k=-2 < 0$, поэтому ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ и $y=0$. Условие $x \neq 0$ соответствует вертикальной асимптоте, выколотых точек на графике нет.

Несколько точек для построения:
при $x=1, y=-2$
при $x=2, y=-1$
при $x=-1, y=2$
при $x=-2, y=1$

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = -\frac{2}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

---

г) $y = \frac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}$

1. Найдём область определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x(x+5) \neq 0$

Отсюда $x \neq 0$ и $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию.

Сначала упростим числитель:

$3x(x+1) - 3x^2 + 15 = 3x^2 + 3x - 3x^2 + 15 = 3x + 15$

Вынесем общий множитель 3:

$3x + 15 = 3(x+5)$

Подставим упрощенный числитель в функцию:

$y = \frac{3(x+5)}{x(x+5)}$

Сократим дробь на $(x+5)$, учитывая, что $x \neq -5$:

$y = \frac{3}{x}$

Функция имеет вид $y = \frac{3}{x}$ при условиях $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

3. Построим график.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{3}{x}$. Коэффициент $k=3 > 0$, значит, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.

Из области определения мы исключили точку $x=-5$. Найдем координаты соответствующей "выколотой" точки на графике:

$y = \frac{3}{-5} = -0.6$.

Следовательно, точка $(-5, -0.6)$ не принадлежит графику.

График — это гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(-5, -0.6)$.