Номер 264, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 264, страница 63.

264. Постройте график функции:

a) $y=\frac{x^2-16}{\left|x-4\right|}$

$\left|x-4\right|\ne 0; x-4\ne 0; x\ne 4$

Область определения функции: все числа, кроме 4

если x-4>0; x>4, то

$y=\frac{x^2-16}{x-4}; y=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}; y=x+4$

если x-4<0; x<4, то

$y=-\frac{x^2-16}{x-4}; y=-\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}; y=-(x+4)$

y=-x-4

y=x+4, x>4

x	5	6
y	9	10

y=-x-4, x<4

x	0	1
y	-4	-5

б) $y=\frac{x^2-25}{5+\left|x\right|}$

$5+\left|x\right|\ne 0; \left|x\right|\ne -5$ - не имеет смысла

Область определения функции: все числа

если $x\ge 0,$ то $y=\frac{x^2-25}{5+x}; y=\frac{(x-5)(x+5)}{5+x}; y=x-5$ при $x\ge 0$

если x<0 то $y=\frac{x^2-25}{5-x}; y=\frac{(x-5)(x+5)}{5-x};$ $y=\frac{(x-5)(x+5)}{-(x-5)}; y=-(x+5)$ 

y=-x-5 при x<0

y=x-5, $x\ge 0,$

x	0	5
y	-5	0

y=-x-5, x<0

x	-5	-3
y	0	-2

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x - 4| \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. В точке $x=4$ график функции имеет разрыв.

2. Упростим выражение для функции.
Числитель $x^2 - 16$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x-4)(x+4)}{|x-4|}$.

3. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

• Случай 1: $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
  В этом случае $|x-4| = x-4$.
  Функция упрощается до $y = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$.
  Значит, при $x > 4$ график функции — это часть прямой $y = x+4$.
• Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
  В этом случае $|x-4| = -(x-4)$.
  Функция упрощается до $y = \frac{(x-4)(x+4)}{-(x-4)} = -(x+4) = -x-4$.
  Значит, при $x < 4$ график функции — это часть прямой $y = -x-4$.

4. Построим график.
Функция является кусочно-линейной:
$y = \begin{cases} x+4, & \text{если } x > 4 \\ -x-4, & \text{если } x < 4 \end{cases}$
График состоит из двух лучей:

• Луч $y = x+4$ для $x > 4$. Начало этого луча находится в точке с абсциссой $x=4$. Ордината этой точки была бы $y=4+4=8$. Поскольку $x \neq 4$, точка $(4, 8)$ является выколотой (пустым кружком).
• Луч $y = -x-4$ для $x < 4$. Конец этого луча находится в точке с абсциссой $x=4$. Ордината этой точки была бы $y=-4-4=-8$. Поскольку $x \neq 4$, точка $(4, -8)$ также является выколотой.

Для построения луча $y=x+4$ можно взять точку, где $x>4$, например, $x=5$, тогда $y=9$. Соединяем выколотую точку $(4, 8)$ и точку $(5, 9)$ и продолжаем луч дальше.
Для построения луча $y=-x-4$ можно взять точку, где $x<4$, например, $x=0$, тогда $y=-4$. Соединяем выколотую точку $(4, -8)$ и точку $(0, -4)$ и продолжаем луч дальше.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — часть прямой $y = x+4$ при $x > 4$ с выколотой начальной точкой $(4, 8)$. Второй — часть прямой $y = -x-4$ при $x < 4$ с выколотой конечной точкой $(4, -8)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 25}{5 + |x|}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби $5 + |x|$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $5 + |x| \ge 5$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому область определения функции — все действительные числа: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.
Заметим, что $x^2$ всегда неотрицательно, и $x^2 = (|x|)^2$. Подставим это в числитель: $y = \frac{|x|^2 - 25}{5 + |x|}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $|x|^2 - 25 = (|x|-5)(|x|+5)$.
Теперь функция имеет вид: $y = \frac{(|x|-5)(|x|+5)}{5+|x|}$.
Поскольку знаменатель $5+|x|$ всегда положителен, мы можем сократить дробь на $(|x|+5)$: $y = |x|-5$.

3. Построим график.
Требуется построить график функции $y = |x|-5$. Этот график можно получить из графика функции $y=|x|$ сдвигом на 5 единиц вниз по оси ординат $Oy$.
График $y=|x|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x<0$, с вершиной в точке $(0,0)$.
Соответственно, график $y=|x|-5$ будет "галочкой" с вершиной в точке $(0, -5)$. Лучи, из которых он состоит:

• При $x \ge 0$: $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x-5$. Это луч, выходящий из точки $(0, -5)$.
• При $x < 0$: $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = -x-5$. Это луч, также выходящий из точки $(0, -5)$.

График пересекает ось абсцисс $Ox$ в точках, где $y=0$. Решим уравнение $|x|-5=0$, откуда $|x|=5$. Это дает два корня: $x=5$ и $x=-5$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: График функции совпадает с графиком функции $y = |x|-5$. Это график модуля $y=|x|$, сдвинутый на 5 единиц вниз по оси $Oy$. Он состоит из двух лучей: $y=x-5$ для $x \ge 0$ и $y=-x-5$ для $x < 0$, которые пересекаются в точке $(0, -5)$.