Страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

264. Постройте график функции:

a) $y=\frac{x^2-16}{\left|x-4\right|}$

$\left|x-4\right|\ne 0; x-4\ne 0; x\ne 4$

Область определения функции: все числа, кроме 4

если x-4>0; x>4, то

$y=\frac{x^2-16}{x-4}; y=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}; y=x+4$

если x-4<0; x<4, то

$y=-\frac{x^2-16}{x-4}; y=-\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}; y=-(x+4)$

y=-x-4

y=x+4, x>4

y=-x-4, x<4

б) $y=\frac{x^2-25}{5+\left|x\right|}$

$5+\left|x\right|\ne 0; \left|x\right|\ne -5$ - не имеет смысла

Область определения функции: все числа

если $x\ge 0,$ то $y=\frac{x^2-25}{5+x}; y=\frac{(x-5)(x+5)}{5+x}; y=x-5$ при $x\ge 0$

если x<0 то $y=\frac{x^2-25}{5-x}; y=\frac{(x-5)(x+5)}{5-x};$ $y=\frac{(x-5)(x+5)}{-(x-5)}; y=-(x+5)$ 

y=-x-5 при x<0

y=x-5, $x\ge 0,$

y=-x-5, x<0

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x - 4| \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. В точке $x=4$ график функции имеет разрыв.

2. Упростим выражение для функции.
Числитель $x^2 - 16$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{(x-4)(x+4)}{|x-4|}$.

3. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

• Случай 1: $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$.
  В этом случае $|x-4| = x-4$.
  Функция упрощается до $y = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$.
  Значит, при $x > 4$ график функции — это часть прямой $y = x+4$.
• Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
  В этом случае $|x-4| = -(x-4)$.
  Функция упрощается до $y = \frac{(x-4)(x+4)}{-(x-4)} = -(x+4) = -x-4$.
  Значит, при $x < 4$ график функции — это часть прямой $y = -x-4$.

4. Построим график.
Функция является кусочно-линейной:
$y = \begin{cases} x+4, & \text{если } x > 4 \\ -x-4, & \text{если } x < 4 \end{cases}$
График состоит из двух лучей:

• Луч $y = x+4$ для $x > 4$. Начало этого луча находится в точке с абсциссой $x=4$. Ордината этой точки была бы $y=4+4=8$. Поскольку $x \neq 4$, точка $(4, 8)$ является выколотой (пустым кружком).
• Луч $y = -x-4$ для $x < 4$. Конец этого луча находится в точке с абсциссой $x=4$. Ордината этой точки была бы $y=-4-4=-8$. Поскольку $x \neq 4$, точка $(4, -8)$ также является выколотой.

Для построения луча $y=x+4$ можно взять точку, где $x>4$, например, $x=5$, тогда $y=9$. Соединяем выколотую точку $(4, 8)$ и точку $(5, 9)$ и продолжаем луч дальше.
Для построения луча $y=-x-4$ можно взять точку, где $x<4$, например, $x=0$, тогда $y=-4$. Соединяем выколотую точку $(4, -8)$ и точку $(0, -4)$ и продолжаем луч дальше.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — часть прямой $y = x+4$ при $x > 4$ с выколотой начальной точкой $(4, 8)$. Второй — часть прямой $y = -x-4$ при $x < 4$ с выколотой конечной точкой $(4, -8)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 25}{5 + |x|}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель дроби $5 + |x|$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $5 + |x| \ge 5$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому область определения функции — все действительные числа: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.
Заметим, что $x^2$ всегда неотрицательно, и $x^2 = (|x|)^2$. Подставим это в числитель: $y = \frac{|x|^2 - 25}{5 + |x|}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $|x|^2 - 25 = (|x|-5)(|x|+5)$.
Теперь функция имеет вид: $y = \frac{(|x|-5)(|x|+5)}{5+|x|}$.
Поскольку знаменатель $5+|x|$ всегда положителен, мы можем сократить дробь на $(|x|+5)$: $y = |x|-5$.

3. Построим график.
Требуется построить график функции $y = |x|-5$. Этот график можно получить из графика функции $y=|x|$ сдвигом на 5 единиц вниз по оси ординат $Oy$.
График $y=|x|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x<0$, с вершиной в точке $(0,0)$.
Соответственно, график $y=|x|-5$ будет "галочкой" с вершиной в точке $(0, -5)$. Лучи, из которых он состоит:

• При $x \ge 0$: $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x-5$. Это луч, выходящий из точки $(0, -5)$.
• При $x < 0$: $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = -x-5$. Это луч, также выходящий из точки $(0, -5)$.

График пересекает ось абсцисс $Ox$ в точках, где $y=0$. Решим уравнение $|x|-5=0$, откуда $|x|=5$. Это дает два корня: $x=5$ и $x=-5$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: График функции совпадает с графиком функции $y = |x|-5$. Это график модуля $y=|x|$, сдвинутый на 5 единиц вниз по оси $Oy$. Он состоит из двух лучей: $y=x-5$ для $x \ge 0$ и $y=-x-5$ для $x < 0$, которые пересекаются в точке $(0, -5)$.

265. При каких значениях k и b гипербола y = kx и прямая y = kx + b проходят через точку:

а) P(2; 1);

б) Q(–2; 3);

в) R(–1; 1)?

$y=\frac{k}{x}; y=kx+b$

a) P(2;1)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{2}=1\\ 2k+b=1\end{array}\left\{\begin{array}{l}k=2\\ 2·2+b=1\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{l}k=2\\ 4+b=1\end{array}\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=-3\end{array}\right.\right.$

Ответ: k=2; b=3

б) Q(-2;3)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{-2}=3\\ -2k+b=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ -2·(-6)+b=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ 12+b=3\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ b=3-12\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-6\\ b=-9\end{array}\right.$

Ответ: k=-6; b=-9

в) R(-1;1)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{k}{-1}=1\\ k·(-1)+b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ (-1)·(-1)+b=1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ 1+b=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=0\end{array}\right.$

Ответ: k=-1; b=0

а) P(2; 1)
Чтобы гипербола $y = \frac{k}{x}$ и прямая $y = kx + b$ проходили через точку P(2; 1), ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям.
Сначала подставим координаты точки P ($x=2, y=1$) в уравнение гиперболы, чтобы найти значение $k$:
$1 = \frac{k}{2}$
$k = 1 \cdot 2 = 2$
Теперь, зная, что $k=2$, подставим это значение и координаты точки P в уравнение прямой, чтобы найти значение $b$:
$y = kx + b$
$1 = 2 \cdot 2 + b$
$1 = 4 + b$
$b = 1 - 4 = -3$
Ответ: $k=2$, $b=-3$.

б) Q(-2; 3)
Аналогично, подставим координаты точки Q(-2; 3), где $x=-2$ и $y=3$, в уравнение гиперболы:
$3 = \frac{k}{-2}$
$k = 3 \cdot (-2) = -6$
Теперь подставим $k=-6$ и координаты точки Q в уравнение прямой:
$y = kx + b$
$3 = (-6) \cdot (-2) + b$
$3 = 12 + b$
$b = 3 - 12 = -9$
Ответ: $k=-6$, $b=-9$.

в) R(-1; 1)
Подставим координаты точки R(-1; 1), где $x=-1$ и $y=1$, в уравнение гиперболы:
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = 1 \cdot (-1) = -1$
Теперь подставим $k=-1$ и координаты точки R в уравнение прямой:
$y = kx + b$
$1 = (-1) \cdot (-1) + b$
$1 = 1 + b$
$b = 1 - 1 = 0$
Ответ: $k=-1$, $b=0$.

266. Могут ли графики функций y =kx (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться:

а) только в одной точке;

б) только в двух точках;

в) в трёх точках?

$y=\frac{k}{x} (k\ne 0), y=ax+b$

a) Только в одной точке

Ответ: да

б) Только в двух точках

Ответ: да

в) В трёх точках

Ответ: нет

Чтобы определить, в скольких точках могут пересекаться графики функций $y = \frac{k}{x}$ (где $k \neq 0$) и $y = ax + b$, необходимо найти количество действительных решений системы уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{k}{x} \\ y = ax + b \end{cases} $$Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:$$ \frac{k}{x} = ax + b $$Поскольку $x=0$ не входит в область определения функции $y = \frac{k}{x}$, мы можем без потери корней умножить обе части уравнения на $x$ (при $x \neq 0$):$$ k = ax^2 + bx $$Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартном виде:$$ ax^2 + bx - k = 0 $$Количество точек пересечения графиков равно количеству различных действительных корней этого уравнения. Проанализируем это уравнение.

Случай 1: $a \neq 0$.
Уравнение является квадратным. Количество его действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4(a)(-k) = b^2 + 4ak$.
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует двум точкам пересечения.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, что соответствует одной точке пересечения (в этом случае прямая является касательной к гиперболе).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и графики не пересекаются.

Случай 2: $a = 0$.
В этом случае линейная функция принимает вид $y = b$, а ее график — это горизонтальная прямая. Уравнение для нахождения точек пересечения упрощается до:$$ \frac{k}{x} = b $$
• Если $b \neq 0$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{k}{b}$. Следовательно, графики пересекаются в одной точке.
• Если $b = 0$, уравнение принимает вид $\frac{k}{x} = 0$. Поскольку по условию $k \neq 0$, это уравнение не имеет решений, и графики не пересекаются.

Основываясь на этом анализе, ответим на поставленные вопросы.

а) только в одной точке;

Да, графики могут пересекаться ровно в одной точке. Это возможно в двух ситуациях:
1. Прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы. Это происходит, когда $a \neq 0$ и дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx - k = 0$ равен нулю, то есть $D = b^2 + 4ak = 0$.
Пример: для функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -x + 2$ ($k=1, a=-1, b=2$) уравнение пересечения $\frac{1}{x} = -x+2$ преобразуется в $x^2 - 2x + 1 = 0$, которое имеет один корень $x=1$. Точка касания — $(1,1)$.
2. Прямая является горизонтальной и не совпадает с осью абсцисс. Это происходит при $a=0$ и $b \neq 0$.
Пример: для функций $y = \frac{2}{x}$ и $y=4$ ($k=2, a=0, b=4$) уравнение $\frac{2}{x} = 4$ имеет один корень $x=0.5$. Точка пересечения — $(0.5, 4)$.

Ответ: Да, могут.

б) только в двух точках;

Да, графики могут пересекаться в двух точках. Это происходит, когда прямая пересекает обе ветви гиперболы, что соответствует случаю, когда $a \neq 0$ и дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx - k = 0$ строго больше нуля: $D = b^2 + 4ak > 0$.
Пример: для функций $y = \frac{1}{x}$ и $y=x$ ($k=1, a=1, b=0$) уравнение $\frac{1}{x} = x$ преобразуется в $x^2=1$, которое имеет два корня: $x_1=1$ и $x_2=-1$. Точки пересечения — $(1,1)$ и $(-1,-1)$.

Ответ: Да, могут.

в) в трёх точках?

Нет, графики не могут пересекаться в трёх точках. Как было показано в общем анализе, задача сводится к решению уравнения $ax^2 + bx - k = 0$.
• Если $a \neq 0$, это квадратное уравнение, которое по основной теореме алгебры имеет не более двух действительных корней.
• Если $a=0$, уравнение становится линейным относительно переменной $x$ (или $1/x$) и имеет не более одного решения.
Следовательно, ни в одном из случаев невозможно получить три решения, а значит, и три точки пересечения.

Ответ: Нет, не могут.

267. Могут ли графики функций y =kx (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих:

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях?

$y=\frac{k}{x} (k\ne 0), y=ax+b$

a)

Ответ: да

б) График функции $y=\frac{k}{x}$ и y=kx+b пересекаться в двух точках, лежащих в первой и второй четверти, не могут, так как график функции $y=\frac{k}{x}$ лежит либо в I и III четверти, либо во II и IV

Ответ: нет

в)

Ответ: да

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ необходимо решить систему уравнений. Приравняв правые части, получим:

$\frac{k}{x} = ax + b$

Поскольку $x \neq 0$ (так как $x$ в знаменателе), мы можем умножить обе части на $x$:

$k = ax^2 + bx$

$ax^2 + bx - k = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Графики могут пересекаться в двух точках, если это уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит, когда дискриминант $D$ больше нуля. Для двух корней также необходимо, чтобы $a \neq 0$, иначе уравнение будет линейным и будет иметь не более одного корня.

$D = b^2 - 4a(-k) = b^2 + 4ak > 0$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) в одной четверти;

Да, могут. Две точки пересечения могут лежать в одной координатной четверти. Рассмотрим, например, случай, когда обе точки находятся в I четверти. Для этого необходимо, чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx - k = 0$ были положительными, и соответствующие значения $y_1$ и $y_2$ также были положительными.

Для I четверти: $x > 0$ и $y > 0$. Из уравнения гиперболы $y = k/x$ следует, что если $x > 0$ и $y > 0$, то $k$ должен быть положительным ($k > 0$).

Итак, пусть $k > 0$. Нам нужно, чтобы уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ имело два различных положительных корня. По теореме Виета, для этого должны выполняться условия:

1. Дискриминант $D = b^2 + 4ak > 0$.
2. Произведение корней $x_1 x_2 = \frac{-k}{a} > 0$.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} > 0$.

Из условия $x_1 x_2 > 0$ и $k > 0$ следует, что $\frac{-k}{a} > 0 \Rightarrow a < 0$.
Из условия $x_1 + x_2 > 0$ и $a < 0$ следует, что $\frac{-b}{a} > 0 \Rightarrow -b < 0 \Rightarrow b > 0$.
Условие на дискриминант $D = b^2 + 4ak > 0$ должно выполняться. Поскольку $a < 0$ и $k > 0$, то $4ak < 0$. Значит, нам нужно, чтобы $b^2 > -4ak$. Это возможно.

Пример: пусть $k=2$, $a=-1$, $b=3$.
Гипербола: $y = \frac{2}{x}$. Прямая: $y = -x + 3$.
Уравнение для точек пересечения: $-x^2 + 3x - 2 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Корни: $x_1 = 1, x_2 = 2$. Оба корня положительны.
Точки пересечения:
При $x_1 = 1$, $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Точка $(1, 2)$ находится в I четверти.
При $x_2 = 2$, $y_2 = \frac{2}{2} = 1$. Точка $(2, 1)$ находится в I четверти.
Таким образом, пересечение в двух точках в одной четверти возможно.

Ответ: да, могут.

б) в первой и второй четвертях;

Нет, не могут. График функции $y = k/x$ (гипербола) имеет две ветви.

• Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. В этом случае не может быть точек пересечения во II четверти.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. В этом случае не может быть точек пересечения в I четверти.

Поскольку для одной функции $y = k/x$ коэффициент $k$ является постоянной величиной, ее график не может одновременно находиться в I и II четвертях. Следовательно, прямая не может пересечь гиперболу в точках, лежащих одновременно в I и II четвертях.

Ответ: нет, не могут.

в) в первой и третьей четвертях?

Да, могут. Чтобы точки пересечения находились в I и III четвертях, ветви гиперболы $y = k/x$ должны располагаться именно в этих четвертях. Это выполняется при $k > 0$.

Точка в I четверти имеет координаты $(x_1, y_1)$, где $x_1 > 0$ и $y_1 > 0$.
Точка в III четверти имеет координаты $(x_2, y_2)$, где $x_2 < 0$ и $y_2 < 0$.

Нам нужно, чтобы уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $k > 0$) имело два корня с разными знаками: один положительный ($x_1$) и один отрицательный ($x_2$).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы произведение корней было отрицательным (дискриминант в этом случае всегда будет положительным, если $a \neq 0$).
По теореме Виета, произведение корней $x_1 x_2 = \frac{-k}{a}$.

Условие: $x_1 x_2 < 0 \Rightarrow \frac{-k}{a} < 0$.
Так как мы определили, что $k > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $a$ было положительным ($a > 0$).
При этом дискриминант $D = b^2 + 4ak$ будет всегда положительным, так как $b^2 \ge 0$, а $4ak > 0$. Это гарантирует наличие двух различных корней.

Пример: пусть $k=4$, $a=1$, $b=0$.
Гипербола: $y = \frac{4}{x}$. Прямая: $y = x$.
Уравнение для точек пересечения: $x^2 + 0x - 4 = 0$, или $x^2 = 4$.
Корни: $x_1 = 2, x_2 = -2$.
Точки пересечения:
При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$ находится в I четверти.
При $x_2 = -2$, $y_2 = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-2, -2)$ находится в III четверти.

Ответ: да, могут.