Страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

219. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2-4a+4}{a^2+ab-2a-2b}=\frac{{(a-2)}^2}{(a^2+ab)-(2a+2b)}= \\ =\frac{{(a-2)}^2}{a(a+b)-2(a+b)}=\frac{{(a-2)}^2}{(a+b)(a-2)}=\frac{a-2}{a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6x^2-3xy+4x-2y}{9x^2+12x+4}= \\ =\frac{(6x^3-3xy)+(4x-2y)}{{(3x+2)}^2}= \\ =\frac{3x(2x-y)+2(2x-y)}{{(3x+2)}^2}= \\ =\frac{(2x-y)(3x+2)}{{(3x+2)}^2}=\frac{2x-y}{3x+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^3+8b^3}=\frac{{(a+2b)}^2}{(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)}= \\ =\frac{a+2b}{a^2-2ab+4b^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{27x^3-y^3}{18x^2+6xy+2y^2}= \\ =\frac{(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)}{2(9x^2+3xy+y^2)}=\frac{3x-y}{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$.

Знаменатель разложим на множители методом группировки:

$a^2 + ab - 2a - 2b = (a^2 + ab) + (-2a - 2b) = a(a + b) - 2(a + b) = (a + b)(a - 2)$.

Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{(a - 2)^2}{(a + b)(a - 2)} = \frac{(a - 2)(a - 2)}{(a + b)(a - 2)} = \frac{a - 2}{a + b}$.

Ответ: $\frac{a - 2}{a + b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6x^2 - 3xy + 4x - 2y}{9x^2 + 12x + 4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель разложим на множители методом группировки:

$6x^2 - 3xy + 4x - 2y = (6x^2 - 3xy) + (4x - 2y) = 3x(2x - y) + 2(2x - y) = (2x - y)(3x + 2)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x + 2)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(3x + 2)$:

$\frac{(2x - y)(3x + 2)}{(3x + 2)^2} = \frac{(2x - y)(3x + 2)}{(3x + 2)(3x + 2)} = \frac{2x - y}{3x + 2}$.

Ответ: $\frac{2x - y}{3x + 2}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является полным квадратом суммы:

$a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a + 2b)^2$.

Знаменатель является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a \cdot 2b + (2b)^2) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a + 2b)$:

$\frac{(a + 2b)^2}{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)} = \frac{(a + 2b)(a + 2b)}{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)} = \frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$.

Ответ: $\frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{27x^3 - y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3 = (3x - y)((3x)^2 + 3x \cdot y + y^2) = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$18x^2 + 6xy + 2y^2 = 2(9x^2 + 3xy + y^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(9x^2 + 3xy + y^2)$:

$\frac{(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)}{2(9x^2 + 3xy + y^2)} = \frac{3x - y}{2}$.

Ответ: $\frac{3x - y}{2}$.

220. Выполните сокращение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{b^{14}-b^7+1}{b^{21}+1}=\frac{b^{14}-b^7+1}{{\left(b^7\right)}^3+1}= \\ =\frac{b^{14}-b^7+1}{(b^7+1)(b^{14}-b^7+1)}=\frac{1}{b^7+1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}=\frac{{\left(x^{11}\right)}^3-1}{x^{11}(x^{22}+x^{11}+1)}= \\ =\frac{(x^{11}-1)(x^{22}+x^{11}+1)}{x^{11}(x^{22}+x^{11}+1)}=\frac{x^{11}-1}{x^{11}} \end{gathered}$$

в) $\frac{x(y-z)-y(x-z)}{x{(y-z)}^2-y{(x-z)}^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{xy-xz-yx+yz}{x(y^2-2yz+z^2)-(x^2-2x{z}^2+z^2)}= \\ =\frac{yz-xz}{x{y}^2-2xyz+x{z}^2-y{x}^2+2xyz-y{z}^2}= \\ =\frac{z(y-x)}{(x{y}^2-y{x}^2)+(x{z}^2-y{z}^2)}= \\ =\frac{z(y-x)}{xy(y-x)+z^2(x-y)}= \\ =\frac{z(y-x)}{xy(y-x)-z^2(y-x)}= \\ =\frac{z(y-x)}{(y-x)(xy-z^2)}=\frac{z}{xy-z^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{a{(b+1)}^2-b{(a+1)}^2}{a(b+1)-b(a+1)}= \\ =\frac{a(b^2+2b+1)-b(a^2+2a+1)}{ab+a-ab-b}= \\ =\frac{a{b}^2+2ab+a-a^{2}b-2ab-b}{a-b}= \\ =\frac{(a{b}^2-a^{2}b)+(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{ab(b-a)+(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{-ab(a-b)+(a-b)}{a-b}= \\ =\frac{(a-b)(1-ab)}{a-b}=1-ab \end{gathered}$$

а) Исходное выражение: $\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1}$.
Знаменатель дроби можно представить как сумму кубов. Используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.
Пусть $A = b^7$ и $B = 1$. Тогда знаменатель $b^{21} + 1 = (b^7)^3 + 1^3$ можно разложить на множители:
$b^{21} + 1 = (b^7 + 1)((b^7)^2 - b^7 \cdot 1 + 1^2) = (b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^{14} - b^7 + 1)}$.
Сократим общий множитель $(b^{14} - b^7 + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{b^{14} - b^7 + 1}}{(b^7 + 1)\cancel{(b^{14} - b^7 + 1)}} = \frac{1}{b^7 + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{b^7 + 1}$.

б) Исходное выражение: $\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}$.
Сначала разложим на множители знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $x^{11}$:
$x^{33} + x^{22} + x^{11} = x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)$.
Числитель дроби можно представить как разность кубов. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.
Пусть $A = x^{11}$ и $B = 1$. Тогда числитель $x^{33} - 1 = (x^{11})^3 - 1^3$ можно разложить на множители:
$x^{33} - 1 = (x^{11} - 1)((x^{11})^2 + x^{11} \cdot 1 + 1^2) = (x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)$.
Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{(x^{11} - 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)}$.
Сократим общий множитель $(x^{22} + x^{11} + 1)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(x^{11} - 1)\cancel{(x^{22} + x^{11} + 1)}}{x^{11}\cancel{(x^{22} + x^{11} + 1)}} = \frac{x^{11} - 1}{x^{11}}$.
Ответ: $\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}$.

в) Исходное выражение: $\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2}$.
Раскроем скобки в числителе:
$x(y - z) - y(x - z) = xy - xz - yx + yz = -xz + yz = z(y - x)$.
Теперь преобразуем знаменатель. Раскроем скобки:
$x(y - z)^2 - y(x - z)^2 = x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2)$
$= xy^2 - 2xyz + xz^2 - yx^2 + 2xyz - yz^2$
Взаимно уничтожим члены $-2xyz$ и $+2xyz$:
$= xy^2 + xz^2 - yx^2 - yz^2$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$= (xy^2 - yx^2) + (xz^2 - yz^2) = xy(y - x) + z^2(x - y)$
Вынесем $(y-x)$ за скобки, изменив знак у второго слагаемого:
$= xy(y - x) - z^2(y - x) = (y - x)(xy - z^2)$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{z(y - x)}{(y - x)(xy - z^2)}$.
Сократим общий множитель $(y-x)$:
$\frac{z\cancel{(y - x)}}{\cancel{(y - x)}(xy - z^2)} = \frac{z}{xy - z^2}$.
Ответ: $\frac{z}{xy - z^2}$.

г) Исходное выражение: $\frac{a(b+1)^2 - b(a+1)^2}{a(b+1) - b(a+1)}$.
Преобразуем знаменатель, раскрыв скобки:
$a(b+1) - b(a+1) = ab + a - ba - b = a - b$.
Теперь преобразуем числитель. Раскроем скобки:
$a(b+1)^2 - b(a+1)^2 = a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1)$
$= ab^2 + 2ab + a - ba^2 - 2ab - b$
Взаимно уничтожим члены $+2ab$ и $-2ab$:
$= ab^2 + a - ba^2 - b$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$= (ab^2 - b) - (a^2b - a) = b(ab - 1) - a(ab - 1) = (b - a)(ab - 1)$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{(b - a)(ab - 1)}{a - b}$.
Так как $b-a = -(a-b)$, то:
$\frac{-(a - b)(ab - 1)}{a - b}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{-\cancel{(a-b)}(ab-1)}{\cancel{a-b}} = -(ab-1) = 1 - ab$.
Ответ: $1 - ab$.

221. Докажите, что если в дроби x² - 2y²3y² + 5xy переменные х и y заменить соответственно на kx и ky, где k ≠ 0, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

$\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(kx\right)}^2-2{\left(ky\right)}^2}{3{\left(ky\right)}^2+5kxky}=\frac{k^2{x}^2-2·k^2{y}^2}{3k^2{y}^2+5k^{2}xy}= \\ =\frac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)}=\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy} \end{gathered}$$

Для доказательства данного утверждения необходимо подставить в исходную дробь $ \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $ вместо переменных x и y выражения kx и ky соответственно.

Выполним подстановку:

$ \frac{(kx)^2 - 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5(kx)(ky)} $

Упростим полученное выражение. Возведем в степень произведения в числителе и знаменателе:

$ \frac{k^2x^2 - 2k^2y^2}{3k^2y^2 + 5k^2xy} $

Теперь вынесем общий множитель $k^2$ за скобки в числителе и в знаменателе дроби:

$ \frac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)} $

Согласно условию, $k \neq 0$, а значит и $k^2 \neq 0$. Поэтому мы можем сократить дробь на $k^2$:

$ \frac{\cancel{k^2}(x^2 - 2y^2)}{\cancel{k^2}(3y^2 + 5xy)} = \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $

В результате преобразований мы получили дробь, которая тождественно равна первоначальной. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: После замены переменных x на kx и y на ky и последующего упрощения получается дробь $ \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $, которая тождественно равна первоначальной, что и требовалось доказать.

222. Известно, что a - b = 9. Найдите значение дроби:

a-b=9

a) $\frac{36}{{(a-b)}^2}=\frac{36}{9^2}=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}$

б) $\frac{108}{{(b-a)}^2}=\frac{108}{{(a-b)}^2}=\frac{108}{9^2}=\frac{108}{81}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(5a-5b)}^2}{45}=\frac{(5{(a-b))}^2}{45}= \\ =\frac{25{(a-b)}^2}{45}=\frac{5·9^2}{9}=5·9=45 \end{gathered}$$

г) $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}=\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{1}{a-b}=\frac{1}{9}$

По условию задачи дано, что $a - b = 9$.

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{36}{(a-b)^2}$, подставим известное значение $a-b=9$ в знаменатель:
$\frac{36}{(a-b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81}$.
Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 36 и 81 равен 9.
$\frac{36 \div 9}{81 \div 9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{108}{(b-a)^2}$, сначала выразим $b-a$ через $a-b$.
$b-a = -(a-b) = -9$.
Тогда $(b-a)^2 = (-9)^2 = 81$.
Стоит отметить, что $(b-a)^2 = (a-b)^2$, поэтому можно было сразу подставить значение $9^2=81$.
Подставляем полученное значение в знаменатель дроби:
$\frac{108}{81}$.
Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 108 и 81 равен 27.
$\frac{108 \div 27}{81 \div 27} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{(5a-5b)^2}{45}$, сначала преобразуем выражение в числителе. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5a - 5b = 5(a-b)$.
Теперь выражение в числителе примет вид $(5(a-b))^2$. Используя свойство степени, получим:
$(5(a-b))^2 = 5^2 \cdot (a-b)^2 = 25(a-b)^2$.
Подставим это в исходную дробь:
$\frac{25(a-b)^2}{45}$.
Теперь подставим известное значение $a-b=9$:
$\frac{25 \cdot 9^2}{45} = \frac{25 \cdot 81}{45}$.
Сократим дробь. Можно сократить 81 и 45 на 9, а 25 и 5 (оставшееся от 45) на 5:
$\frac{25 \cdot 81}{45} = \frac{25 \cdot 9}{5} = 5 \cdot 9 = 45$.
Ответ: 45.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Подставим это разложение в знаменатель дроби:
$\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$.
Поскольку из условия $a-b=9$ следует, что $a \neq b$, выражение $a^2+ab+b^2$ (неполный квадрат суммы) не равно нулю, поэтому мы можем сократить на него числитель и знаменатель.
$\frac{1}{a-b}$.
Подставим известное значение $a-b=9$:
$\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

223. Докажите, что если ab = bc = ca, то а = b = c.

$\begin{array}{ccc}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a};& \frac{a}{b}=\frac{b}{c};& b^2=ac\\ & \frac{b}{c}=\frac{c}{a};& c^2=ab\\ & \frac{a}{b}=\frac{c}{a};& a^2=bc\end{array}$

$$\begin{gathered} \frac{b^2}{c^2}=\frac{ac}{ab}=\frac{c}{b}; b^3=c^3; b=c \\ \frac{c^2}{a^2}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}; a^3=c^3; a=c \end{gathered}$$

Значит, a=b=c

Пусть дано равенство $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$. Из этого условия следует, что переменные $a, b, c$ не могут быть равны нулю, так как они находятся в знаменателях дробей.

Обозначим общее значение этих дробей через коэффициент пропорциональности $k$:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = k$

Данное равенство можно представить в виде системы уравнений:
$a = bk$
$b = ck$
$c = ak$

Теперь выполним последовательную подстановку, чтобы выразить одну из переменных через саму себя. Подставим выражение для $c$ из третьего уравнения ($c=ak$) во второе уравнение:

$b = (ak)k = ak^2$

Далее, подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение:

$a = (ak^2)k = ak^3$

Мы получили уравнение $a = ak^3$. Перенесем все его члены в левую часть и вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ak^3 - a = 0$
$a(k^3 - 1) = 0$

Поскольку мы ранее установили, что $a \ne 0$, для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$k^3 - 1 = 0$
$k^3 = 1$

В области действительных чисел это уравнение имеет единственный корень: $k = 1$.

Если коэффициент пропорциональности $k=1$, то из первоначальных соотношений $\frac{a}{b}=k$ и $\frac{b}{c}=k$ получаем:

$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$
$\frac{b}{c} = 1 \implies b = c$

Таким образом, из $a = b$ и $b = c$ следует, что $a = b = c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

224. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^2-2x}{x-3}-\frac{4x-9}{x-3}=\frac{x^2-2x-4x+9}{x-3}= \\ =\frac{x^2-6x+9}{x-3}=\frac{{(x-3)}^2}{x-3}=x-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{y^2-10}{y-8}-\frac{54}{y-8}=\frac{y^2-10-54}{y-8}= \\ =\frac{y^2-64}{y-8}=\frac{(y-8)(y+8)}{y-8}=y+8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a^2}{a^2-b^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2}=\frac{a^2}{a^2-b^2}-\frac{b^2}{a^2-b^2}= \\ =\frac{a^2-b^2}{a^2-b^2}=1 \end{gathered}$$

г) $\frac{x^2-2x}{x^2-y^2}-\frac{2y-y^2}{y^2-x^2}=\frac{x^2-2x}{x^2-y^2}+\frac{2y-y^2}{x^2-y^2}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2-2x+2y-y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2-y^2)-(2x-2y)}{x^2-y^2}= \\ =\frac{(x-y)(x+y)-2(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{(x-y)(x+y-2)}{(x-y)(x+y)}= \\ =\frac{x+y-2}{x+y} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3}$, выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Для этого нужно вычесть числитель второй дроби из числителя первой:

$\frac{x^2 - 2x - (4x - 9)}{x - 3} = \frac{x^2 - 2x - 4x + 9}{x - 3} = \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$

Числитель полученной дроби, $x^2 - 6x + 9$, является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Подставим это в нашу дробь и сократим:

$\frac{(x - 3)^2}{x - 3} = x - 3$ (при условии, что $x \ne 3$)

Ответ: $x-3$

б) Упростим выражение $\frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8}$. Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем их числители:

$\frac{y^2 - 10 - 54}{y - 8} = \frac{y^2 - 64}{y - 8}$

Числитель $y^2 - 64$ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - 64 = y^2 - 8^2 = (y - 8)(y + 8)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь и сократим общий множитель:

$\frac{(y - 8)(y + 8)}{y - 8} = y + 8$ (при условии, что $y \ne 8$)

Ответ: $y+8$

в) Рассмотрим выражение $\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2}$. Знаменатели этих дробей, $a^2 - b^2$ и $b^2 - a^2$, являются противоположными выражениями, так как $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого во второй дроби вынесем минус из знаменателя и поставим его перед дробью:

$\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{-(a^2 - b^2)} = \frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1$ (при условии, что $a^2 - b^2 \ne 0$)

Ответ: $1$

г) Упростим выражение $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}$. Знаменатель второй дроби $y^2 - x^2$ противоположен знаменателю первой $x^2 - y^2$. Приведем их к общему знаменателю $x^2 - y^2$:

$\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{-(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Сложим числители:

$\frac{x^2 - 2x + 2y - y^2}{x^2 - y^2}$

Сгруппируем слагаемые в числителе для дальнейшего разложения на множители:

$\frac{(x^2 - y^2) - (2x - 2y)}{x^2 - y^2}$

Разложим на множители выражения в скобках. $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ и $2x - 2y = 2(x - y)$. Знаменатель также разложим по формуле разности квадратов.

$\frac{(x - y)(x + y) - 2(x - y)}{(x - y)(x + y)}$

Вынесем в числителе общий множитель $(x - y)$ за скобку:

$\frac{(x - y)(x + y - 2)}{(x - y)(x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ (при условии, что $x \ne y$):

$\frac{x + y - 2}{x + y}$

Ответ: $\frac{x+y-2}{x+y}$

225. Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{{(y-b)}^2}{y-b+1}+\frac{y-b}{y-b+1}=\frac{{(y-b)}^2+(y-b)}{y-b+1}= \\ =\frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1}=y-b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(a+x)}^2}{a+x-2}-\frac{2a+2x}{a+x-2}=\frac{{(a+x)}^2-(2a+2x)}{a+x-2}= \\ =\frac{{(a+x)}^2-2(a+x)}{a+x-2}=\frac{(a+x)(a+x-2)}{x+x-2}=a+x \end{gathered}$$

в) $\frac{x^2-y^2}{x-y-1}+\frac{x+y}{y-x+1}=\frac{x^2-y^2}{x-y-1}-\frac{x+y}{x-y-1}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x^2-y^2)-(x+y)}{x-y-1}=\frac{(x-y)(x+y)-(x+y)}{x-y-1}= \\ =\frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1}=x+y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2}+\frac{2(b-3c)}{2-b-3c}= \\ =\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2}-\frac{2(b-3c)}{b+3c-2}= \\ =\frac{(b^2-9c^2)-2(b-3c)}{b+3c-2}= \\ =\frac{(b-3c)(b+3c)-2(b-3c)}{b+3c-2}= \\ =\frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2}=b-3c \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать, что выражение тождественно равно многочлену, упростим его. Данное выражение: $\frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1}$.

Так как у дробей одинаковый знаменатель $y-b+1$, сложим их числители:

$\frac{(y-b)^2 + (y-b)}{y-b+1}$

В числителе вынесем общий множитель $(y-b)$ за скобки:

$\frac{(y-b)((y-b)+1)}{y-b+1} = \frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-b+1)$. В результате получаем многочлен:

$y-b$

Ответ: $y-b$.

б)

Упростим выражение $\frac{(a+x)^2}{a+x-2} - \frac{2a+2x}{a+x-2}$.

Дроби имеют общий знаменатель $a+x-2$, поэтому выполним вычитание числителей:

$\frac{(a+x)^2 - (2a+2x)}{a+x-2}$

В числителе вынесем множитель 2 в выражении $(2a+2x)$, а затем вынесем общий множитель $(a+x)$ за скобки:

$\frac{(a+x)^2 - 2(a+x)}{a+x-2} = \frac{(a+x)((a+x)-2)}{a+x-2} = \frac{(a+x)(a+x-2)}{a+x-2}$

Сократим дробь на $(a+x-2)$ и получим многочлен:

$a+x$

Ответ: $a+x$.

в)

Упростим выражение $\frac{x^2-y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1}$.

Знаменатели $x-y-1$ и $y-x+1$ являются противоположными выражениями, так как $y-x+1 = -(x-y-1)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-y-1$, изменив знак перед второй дробью:

$\frac{x^2-y^2}{x-y-1} - \frac{x+y}{x-y-1} = \frac{x^2-y^2 - (x+y)}{x-y-1}$

В числителе разложим $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов и вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$\frac{(x-y)(x+y) - (x+y)}{x-y-1} = \frac{(x+y)((x-y)-1)}{x-y-1} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1}$

Сократим дробь на $(x-y-1)$, в результате чего получим многочлен:

$x+y$

Ответ: $x+y$.

г)

Упростим выражение $\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2-b-3c}$.

Знаменатель второй дроби $2-b-3c$ можно представить как $-(b+3c-2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $b+3c-2$:

$\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} - \frac{2(b-3c)}{b+3c-2} = \frac{b^2-9c^2 - 2(b-3c)}{b+3c-2}$

В числителе разложим $b^2-9c^2$ как разность квадратов $(b-3c)(b+3c)$, а затем вынесем за скобки общий множитель $(b-3c)$:

$\frac{(b-3c)(b+3c) - 2(b-3c)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)((b+3c)-2)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2}$

Сократив дробь на $(b+3c-2)$, получим многочлен:

$b-3c$

Ответ: $b-3c$.

226. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь ab несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

Если $\frac{a}{b}$- правильная обыкновенная дробь, то a<b. Дробь, дополняющая её до единицы $1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}.$ Докажем, что $\frac{b-a}{b}$- несократима. Пусть $\frac{b-a}{b}$ - сократима, тогда найдется такое число n, что b-a=nk, a b=mk, т.е. $\frac{b-a}{b}=\frac{nk}{mk}$

a=b-nk=mk-nk=k(m-n). Получим, что $\frac{a}{b}=\frac{k(m-n)}{km}$ - дробь сократима, что противоречит условию задачи. Значит, дробь $\frac{b-a}{b}$ - несократима, что и требовалось доказать

Пусть дана правильная обыкновенная несократимая дробь $\frac{a}{b}$.

Это означает, что $a$ и $b$ — натуральные числа, $a < b$, и их наибольший общий делитель (НОД) равен 1, то есть НОД($a, b$) = 1.

Дробь, которая дополняет $\frac{a}{b}$ до единицы, имеет вид:$1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$.

Нам нужно доказать, что дробь $\frac{b-a}{b}$ также несократима. Для этого докажем, что НОД($b-a, b$) = 1.

Будем доказывать от противного. Предположим, что дробь $\frac{b-a}{b}$ является сократимой. Это значит, что у числителя $b-a$ и знаменателя $b$ есть общий делитель $d$, который больше 1.

Итак, пусть $d > 1$ — общий делитель для $b$ и $b-a$.
По определению делителя, это означает, что $b$ делится на $d$ без остатка, и $b-a$ также делится на $d$ без остатка.

Если два числа ($b$ и $b-a$) делятся на $d$, то и их разность также должна делиться на $d$.
Найдем их разность: $b - (b-a) = b - b + a = a$.

Таким образом, мы получаем, что число $a$ тоже делится на $d$.

Мы пришли к тому, что $d$ является общим делителем как для числа $a$, так и для числа $b$. Поскольку мы предположили, что $d > 1$, это означает, что у чисел $a$ и $b$ есть общий делитель, больший единицы.

Это приводит к противоречию с исходным условием задачи, согласно которому дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то есть НОД($a, b$) = 1.

Противоречие возникло из-за нашего предположения о том, что дробь $\frac{b-a}{b}$ сократима. Следовательно, это предположение неверно, а значит, дробь $\frac{b-a}{b}$ является несократимой.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что дробь $\frac{b-a}{b}$ сократима на некое число $d > 1$, то $d$ будет делителем и для $b$, и для $b-a$. Следовательно, $d$ будет делителем их разности, то есть числа $a$. Таким образом, $d$ будет общим делителем для $a$ и $b$, что противоречит исходному условию несократимости дроби $\frac{a}{b}$.