Номер 226, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 226, страница 57.

226. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь ab несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

Если $\frac{a}{b}$- правильная обыкновенная дробь, то a<b. Дробь, дополняющая её до единицы $1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}.$ Докажем, что $\frac{b-a}{b}$- несократима. Пусть $\frac{b-a}{b}$ - сократима, тогда найдется такое число n, что b-a=nk, a b=mk, т.е. $\frac{b-a}{b}=\frac{nk}{mk}$

a=b-nk=mk-nk=k(m-n). Получим, что $\frac{a}{b}=\frac{k(m-n)}{km}$ - дробь сократима, что противоречит условию задачи. Значит, дробь $\frac{b-a}{b}$ - несократима, что и требовалось доказать

Пусть дана правильная обыкновенная несократимая дробь $\frac{a}{b}$.

Это означает, что $a$ и $b$ — натуральные числа, $a < b$, и их наибольший общий делитель (НОД) равен 1, то есть НОД($a, b$) = 1.

Дробь, которая дополняет $\frac{a}{b}$ до единицы, имеет вид:$1 - \frac{a}{b} = \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$.

Нам нужно доказать, что дробь $\frac{b-a}{b}$ также несократима. Для этого докажем, что НОД($b-a, b$) = 1.

Будем доказывать от противного. Предположим, что дробь $\frac{b-a}{b}$ является сократимой. Это значит, что у числителя $b-a$ и знаменателя $b$ есть общий делитель $d$, который больше 1.

Итак, пусть $d > 1$ — общий делитель для $b$ и $b-a$.
По определению делителя, это означает, что $b$ делится на $d$ без остатка, и $b-a$ также делится на $d$ без остатка.

Если два числа ($b$ и $b-a$) делятся на $d$, то и их разность также должна делиться на $d$.
Найдем их разность: $b - (b-a) = b - b + a = a$.

Таким образом, мы получаем, что число $a$ тоже делится на $d$.

Мы пришли к тому, что $d$ является общим делителем как для числа $a$, так и для числа $b$. Поскольку мы предположили, что $d > 1$, это означает, что у чисел $a$ и $b$ есть общий делитель, больший единицы.

Это приводит к противоречию с исходным условием задачи, согласно которому дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то есть НОД($a, b$) = 1.

Противоречие возникло из-за нашего предположения о том, что дробь $\frac{b-a}{b}$ сократима. Следовательно, это предположение неверно, а значит, дробь $\frac{b-a}{b}$ является несократимой.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что дробь $\frac{b-a}{b}$ сократима на некое число $d > 1$, то $d$ будет делителем и для $b$, и для $b-a$. Следовательно, $d$ будет делителем их разности, то есть числа $a$. Таким образом, $d$ будет общим делителем для $a$ и $b$, что противоречит исходному условию несократимости дроби $\frac{a}{b}$.