Номер 229, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 229, страница 58.

229. Зная, что $\frac{x + y}{y}$= 3, найдите значение выражения:

$\frac{x+y}{y}=3; \frac{x}{y}+\frac{y}{y}=3; \frac{x}{y}+1=3; \frac{x}{y}=2$

a) $\frac{x}{y}=2;$

б) $\frac{y}{x+y}=\frac{1}{3}$

в) $\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=2-1=1$

г) $\frac{y}{x}=\frac{1}{2}=0,5$

а) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{x}{y}$, преобразуем исходное равенство $\frac{x+y}{y} = 3$. Разделим почленно числитель дроби в левой части на знаменатель: $\frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 3$. Поскольку $\frac{y}{y} = 1$ (при $y \neq 0$, что предполагается условием, так как $y$ стоит в знаменателе), мы получаем: $\frac{x}{y} + 1 = 3$. Теперь перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак: $\frac{x}{y} = 3 - 1$. $\frac{x}{y} = 2$.
Ответ: 2

б) Требуется найти значение выражения $\frac{y}{x+y}$. Это выражение является обратным к выражению $\frac{x+y}{y}$, значение которого нам дано в условии. Если $\frac{x+y}{y} = 3$, то, чтобы найти значение обратной дроби $\frac{y}{x+y}$, нужно взять обратное число к 3. $\frac{y}{x+y} = \frac{1}{\frac{x+y}{y}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{x-y}{y}$, поступим так же, как и в пункте а) — разделим почленно числитель на знаменатель: $\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - \frac{y}{y}$. Упрощаем выражение: $\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} - 1$. Из решения пункта а) мы знаем, что $\frac{x}{y} = 2$. Подставим это значение: $\frac{x-y}{y} = 2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

г) Требуется найти значение выражения $\frac{y}{x}$. Это выражение является обратным к выражению $\frac{x}{y}$. В пункте а) мы нашли, что $\frac{x}{y} = 2$. Следовательно, значение обратного выражения $\frac{y}{x}$ будет равно обратной величине к 2. $\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$