Номер 227, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 227, страница 58.

227. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения:

a) $\frac{n+6}{n}=\frac{n}{n}+\frac{6}{n}=1+\frac{6}{n}$

Значение дроби $\frac{6}{n}$является натуральным числом при n=1; 2; 3; 6

Ответ: при n=1; 2; 3; 6

б) $\frac{5n-12}{n}=\frac{5n}{n}-\frac{12}{n}=5-\frac{12}{n}$ было натуральным числом, нужно, чтобы

$5-\frac{12}{n}>0; \frac{12}{n}<5$

$n=1; 12<5$ - неверно

$n=2; 6<5$ - неверно

$n=3; 4<5$ - верно

$n=4; 3<5$ - верно

$n=6; 2<5$ - верно

$n=12; 1<5$ - верно

Ответ: при n=3; 4; 6; 12

в) $\frac{36-n^2}{n^2}=\frac{36}{n^2}-\frac{n^2}{n^2}=\frac{36}{n^2}-1={\left(\frac{6}{n}\right)}^2-1$

Чтобы значение выражения было натуральным числом, нужно, чтобы ${\left(\frac{6}{n}\right)}^2-1>0$

${\left(\frac{6}{n}\right)}^2>1$

$n=1; 36>1$ - верно

$n=2; 9>1$ - верно

$n=3; 4>1$ - верно

$n=6; 1>1$ - неверно

Ответ: при n=1; 2; 3

а)

Для того чтобы значение выражения $\frac{n+6}{n}$ было натуральным числом при натуральном $n$, преобразуем данное выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n}$

Поскольку $n$ — натуральное число, слагаемое 1 является натуральным числом. Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы второе слагаемое, $\frac{6}{n}$, также было натуральным числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 6.

Найдём все натуральные делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

Проверка показывает, что все эти значения подходят:

При $n=1$: $\frac{1+6}{1} = 7$
При $n=2$: $\frac{2+6}{2} = 4$
При $n=3$: $\frac{3+6}{3} = 3$
При $n=6$: $\frac{6+6}{6} = 2$

Ответ: 1, 2, 3, 6.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{5n-12}{n}$. Преобразуем его:

$\frac{5n-12}{n} = \frac{5n}{n} - \frac{12}{n} = 5 - \frac{12}{n}$

Чтобы значение этого выражения было натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. Дробь $\frac{12}{n}$ должна быть целым числом, чтобы результат вычитания был целым. Это значит, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 12. Натуральные делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

2. Результат вычитания должен быть натуральным числом, то есть быть больше или равен 1: $5 - \frac{12}{n} \geq 1$.

Решим это неравенство:

$4 \geq \frac{12}{n}$

Так как $n$ — натуральное, то $n > 0$, поэтому можно умножить обе части неравенства на $n$, сохранив знак:

$4n \geq 12$

$n \geq 3$

Теперь необходимо выбрать из всех натуральных делителей числа 12 те, которые удовлетворяют условию $n \geq 3$. Это числа: 3, 4, 6, 12.

Ответ: 3, 4, 6, 12.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{36-n^2}{n^2}$. Преобразуем его:

$\frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1$

Чтобы значение этого выражения было натуральным числом, должны выполняться два условия:

1. Выражение $\frac{36}{n^2}$ должно быть целым числом. Это значит, что $n^2$ должно быть делителем числа 36.

2. Результат вычитания должен быть натуральным числом: $\frac{36}{n^2} - 1 \geq 1$.

Решим это неравенство:

$\frac{36}{n^2} \geq 2$

Так как $n^2 > 0$, умножим обе части на $n^2$:

$36 \geq 2n^2$

$18 \geq n^2$

Итак, нам нужно найти такие натуральные $n$, для которых $n^2$ является делителем 36 и одновременно $n^2 \leq 18$.

Проверим натуральные $n$ по порядку:
- Если $n=1$, то $n^2=1$. $1$ — делитель 36, и $1 \leq 18$. Подходит.
- Если $n=2$, то $n^2=4$. $4$ — делитель 36, и $4 \leq 18$. Подходит.
- Если $n=3$, то $n^2=9$. $9$ — делитель 36, и $9 \leq 18$. Подходит.
- Если $n=4$, то $n^2=16$. $16$ не является делителем 36. Не подходит.
- Если $n \geq 5$, то $n^2 \geq 25$, что больше 18. Следовательно, другие значения $n$ не подходят.

Таким образом, подходят значения n: 1, 2, 3.

Ответ: 1, 2, 3.