Номер 223, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 223, страница 57.

223. Докажите, что если ab = bc = ca, то а = b = c.

$\begin{array}{ccc}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a};& \frac{a}{b}=\frac{b}{c};& b^2=ac\\ & \frac{b}{c}=\frac{c}{a};& c^2=ab\\ & \frac{a}{b}=\frac{c}{a};& a^2=bc\end{array}$

$$\begin{gathered} \frac{b^2}{c^2}=\frac{ac}{ab}=\frac{c}{b}; b^3=c^3; b=c \\ \frac{c^2}{a^2}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}; a^3=c^3; a=c \end{gathered}$$

Значит, a=b=c

Пусть дано равенство $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}$. Из этого условия следует, что переменные $a, b, c$ не могут быть равны нулю, так как они находятся в знаменателях дробей.

Обозначим общее значение этих дробей через коэффициент пропорциональности $k$:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = k$

Данное равенство можно представить в виде системы уравнений:
$a = bk$
$b = ck$
$c = ak$

Теперь выполним последовательную подстановку, чтобы выразить одну из переменных через саму себя. Подставим выражение для $c$ из третьего уравнения ($c=ak$) во второе уравнение:

$b = (ak)k = ak^2$

Далее, подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение:

$a = (ak^2)k = ak^3$

Мы получили уравнение $a = ak^3$. Перенесем все его члены в левую часть и вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ak^3 - a = 0$
$a(k^3 - 1) = 0$

Поскольку мы ранее установили, что $a \ne 0$, для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$k^3 - 1 = 0$
$k^3 = 1$

В области действительных чисел это уравнение имеет единственный корень: $k = 1$.

Если коэффициент пропорциональности $k=1$, то из первоначальных соотношений $\frac{a}{b}=k$ и $\frac{b}{c}=k$ получаем:

$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$
$\frac{b}{c} = 1 \implies b = c$

Таким образом, из $a = b$ и $b = c$ следует, что $a = b = c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.