Номер 219, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 219, страница 57.

219. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2-4a+4}{a^2+ab-2a-2b}=\frac{{(a-2)}^2}{(a^2+ab)-(2a+2b)}= \\ =\frac{{(a-2)}^2}{a(a+b)-2(a+b)}=\frac{{(a-2)}^2}{(a+b)(a-2)}=\frac{a-2}{a+b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6x^2-3xy+4x-2y}{9x^2+12x+4}= \\ =\frac{(6x^3-3xy)+(4x-2y)}{{(3x+2)}^2}= \\ =\frac{3x(2x-y)+2(2x-y)}{{(3x+2)}^2}= \\ =\frac{(2x-y)(3x+2)}{{(3x+2)}^2}=\frac{2x-y}{3x+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^3+8b^3}=\frac{{(a+2b)}^2}{(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)}= \\ =\frac{a+2b}{a^2-2ab+4b^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{27x^3-y^3}{18x^2+6xy+2y^2}= \\ =\frac{(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)}{2(9x^2+3xy+y^2)}=\frac{3x-y}{2} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$.

Знаменатель разложим на множители методом группировки:

$a^2 + ab - 2a - 2b = (a^2 + ab) + (-2a - 2b) = a(a + b) - 2(a + b) = (a + b)(a - 2)$.

Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{(a - 2)^2}{(a + b)(a - 2)} = \frac{(a - 2)(a - 2)}{(a + b)(a - 2)} = \frac{a - 2}{a + b}$.

Ответ: $\frac{a - 2}{a + b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6x^2 - 3xy + 4x - 2y}{9x^2 + 12x + 4}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель разложим на множители методом группировки:

$6x^2 - 3xy + 4x - 2y = (6x^2 - 3xy) + (4x - 2y) = 3x(2x - y) + 2(2x - y) = (2x - y)(3x + 2)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x + 2)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(3x + 2)$:

$\frac{(2x - y)(3x + 2)}{(3x + 2)^2} = \frac{(2x - y)(3x + 2)}{(3x + 2)(3x + 2)} = \frac{2x - y}{3x + 2}$.

Ответ: $\frac{2x - y}{3x + 2}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является полным квадратом суммы:

$a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a + 2b)^2$.

Знаменатель является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a \cdot 2b + (2b)^2) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a + 2b)$:

$\frac{(a + 2b)^2}{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)} = \frac{(a + 2b)(a + 2b)}{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)} = \frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$.

Ответ: $\frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{27x^3 - y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3 = (3x - y)((3x)^2 + 3x \cdot y + y^2) = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$.

В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$18x^2 + 6xy + 2y^2 = 2(9x^2 + 3xy + y^2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(9x^2 + 3xy + y^2)$:

$\frac{(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)}{2(9x^2 + 3xy + y^2)} = \frac{3x - y}{2}$.

Ответ: $\frac{3x - y}{2}$.