Номер 222, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 222, страница 57.

222. Известно, что a - b = 9. Найдите значение дроби:

a-b=9

a) $\frac{36}{{(a-b)}^2}=\frac{36}{9^2}=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}$

б) $\frac{108}{{(b-a)}^2}=\frac{108}{{(a-b)}^2}=\frac{108}{9^2}=\frac{108}{81}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{(5a-5b)}^2}{45}=\frac{(5{(a-b))}^2}{45}= \\ =\frac{25{(a-b)}^2}{45}=\frac{5·9^2}{9}=5·9=45 \end{gathered}$$

г) $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}=\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{1}{a-b}=\frac{1}{9}$

По условию задачи дано, что $a - b = 9$.

а) Чтобы найти значение дроби $\frac{36}{(a-b)^2}$, подставим известное значение $a-b=9$ в знаменатель:
$\frac{36}{(a-b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81}$.
Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 36 и 81 равен 9.
$\frac{36 \div 9}{81 \div 9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

б) Чтобы найти значение дроби $\frac{108}{(b-a)^2}$, сначала выразим $b-a$ через $a-b$.
$b-a = -(a-b) = -9$.
Тогда $(b-a)^2 = (-9)^2 = 81$.
Стоит отметить, что $(b-a)^2 = (a-b)^2$, поэтому можно было сразу подставить значение $9^2=81$.
Подставляем полученное значение в знаменатель дроби:
$\frac{108}{81}$.
Сократим дробь. Наибольший общий делитель чисел 108 и 81 равен 27.
$\frac{108 \div 27}{81 \div 27} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

в) Чтобы найти значение дроби $\frac{(5a-5b)^2}{45}$, сначала преобразуем выражение в числителе. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5a - 5b = 5(a-b)$.
Теперь выражение в числителе примет вид $(5(a-b))^2$. Используя свойство степени, получим:
$(5(a-b))^2 = 5^2 \cdot (a-b)^2 = 25(a-b)^2$.
Подставим это в исходную дробь:
$\frac{25(a-b)^2}{45}$.
Теперь подставим известное значение $a-b=9$:
$\frac{25 \cdot 9^2}{45} = \frac{25 \cdot 81}{45}$.
Сократим дробь. Можно сократить 81 и 45 на 9, а 25 и 5 (оставшееся от 45) на 5:
$\frac{25 \cdot 81}{45} = \frac{25 \cdot 9}{5} = 5 \cdot 9 = 45$.
Ответ: 45.

г) Чтобы найти значение дроби $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Подставим это разложение в знаменатель дроби:
$\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$.
Поскольку из условия $a-b=9$ следует, что $a \neq b$, выражение $a^2+ab+b^2$ (неполный квадрат суммы) не равно нулю, поэтому мы можем сократить на него числитель и знаменатель.
$\frac{1}{a-b}$.
Подставим известное значение $a-b=9$:
$\frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.