Номер 225, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 225, страница 57.

225. Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{{(y-b)}^2}{y-b+1}+\frac{y-b}{y-b+1}=\frac{{(y-b)}^2+(y-b)}{y-b+1}= \\ =\frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1}=y-b \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(a+x)}^2}{a+x-2}-\frac{2a+2x}{a+x-2}=\frac{{(a+x)}^2-(2a+2x)}{a+x-2}= \\ =\frac{{(a+x)}^2-2(a+x)}{a+x-2}=\frac{(a+x)(a+x-2)}{x+x-2}=a+x \end{gathered}$$

в) $\frac{x^2-y^2}{x-y-1}+\frac{x+y}{y-x+1}=\frac{x^2-y^2}{x-y-1}-\frac{x+y}{x-y-1}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x^2-y^2)-(x+y)}{x-y-1}=\frac{(x-y)(x+y)-(x+y)}{x-y-1}= \\ =\frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1}=x+y \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2}+\frac{2(b-3c)}{2-b-3c}= \\ =\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2}-\frac{2(b-3c)}{b+3c-2}= \\ =\frac{(b^2-9c^2)-2(b-3c)}{b+3c-2}= \\ =\frac{(b-3c)(b+3c)-2(b-3c)}{b+3c-2}= \\ =\frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2}=b-3c \end{gathered}$$

а)

Чтобы доказать, что выражение тождественно равно многочлену, упростим его. Данное выражение: $\frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1}$.

Так как у дробей одинаковый знаменатель $y-b+1$, сложим их числители:

$\frac{(y-b)^2 + (y-b)}{y-b+1}$

В числителе вынесем общий множитель $(y-b)$ за скобки:

$\frac{(y-b)((y-b)+1)}{y-b+1} = \frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-b+1)$. В результате получаем многочлен:

$y-b$

Ответ: $y-b$.

б)

Упростим выражение $\frac{(a+x)^2}{a+x-2} - \frac{2a+2x}{a+x-2}$.

Дроби имеют общий знаменатель $a+x-2$, поэтому выполним вычитание числителей:

$\frac{(a+x)^2 - (2a+2x)}{a+x-2}$

В числителе вынесем множитель 2 в выражении $(2a+2x)$, а затем вынесем общий множитель $(a+x)$ за скобки:

$\frac{(a+x)^2 - 2(a+x)}{a+x-2} = \frac{(a+x)((a+x)-2)}{a+x-2} = \frac{(a+x)(a+x-2)}{a+x-2}$

Сократим дробь на $(a+x-2)$ и получим многочлен:

$a+x$

Ответ: $a+x$.

в)

Упростим выражение $\frac{x^2-y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1}$.

Знаменатели $x-y-1$ и $y-x+1$ являются противоположными выражениями, так как $y-x+1 = -(x-y-1)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-y-1$, изменив знак перед второй дробью:

$\frac{x^2-y^2}{x-y-1} - \frac{x+y}{x-y-1} = \frac{x^2-y^2 - (x+y)}{x-y-1}$

В числителе разложим $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов и вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$\frac{(x-y)(x+y) - (x+y)}{x-y-1} = \frac{(x+y)((x-y)-1)}{x-y-1} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1}$

Сократим дробь на $(x-y-1)$, в результате чего получим многочлен:

$x+y$

Ответ: $x+y$.

г)

Упростим выражение $\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2-b-3c}$.

Знаменатель второй дроби $2-b-3c$ можно представить как $-(b+3c-2)$. Приведем дроби к общему знаменателю $b+3c-2$:

$\frac{b^2-9c^2}{b+3c-2} - \frac{2(b-3c)}{b+3c-2} = \frac{b^2-9c^2 - 2(b-3c)}{b+3c-2}$

В числителе разложим $b^2-9c^2$ как разность квадратов $(b-3c)(b+3c)$, а затем вынесем за скобки общий множитель $(b-3c)$:

$\frac{(b-3c)(b+3c) - 2(b-3c)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)((b+3c)-2)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2}$

Сократив дробь на $(b+3c-2)$, получим многочлен:

$b-3c$

Ответ: $b-3c$.