Номер 218, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 218, страница 56.

218. Сократите дробь:

a) $\frac{{(3a-3c)}^2}{9a^2-9c^2}=\frac{(3{(a-c))}^2}{9(a^2-c^2)}=\frac{9{(a-c)}^2}{9(a-c)(a+c)}=\frac{a-c}{a+c}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(a^2-9)}^2}{{(3-a)}^3}=\frac{\left(\right(a-3){(a+3))}^2}{{(3-a)}^3}= \\ =\frac{{(a-3)}^2{(a+3)}^2}{{(3-a)}^3}=\frac{{(3-a)}^2{(a+3)}^2}{{(3-a)}^3}=\frac{{(a+3)}^2}{3-a} \end{gathered}$$

в) $\frac{8y^3-1}{y-4y^3}=\frac{(2y-1)(4y^2+2y+1)}{y(1-4y^2)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(2y-1)(4y^2+2y+1)}{y(1-2y)(1+2y)}= \\ =\frac{-(1-2y)(4y^2+2y+1)}{y(1-2y)(1+2y)}=-\frac{4y^2+2y+1}{y+2y^2} \end{gathered}$$

г) $\frac{5a^2-3ab}{a^2-0,36b^2}=\frac{a(5a-3b)}{(a-0,6b)(a+0,6b)}=$

$$\begin{gathered} \frac{5a(a-0,6b)}{(a-0,6b)(a+0,6b)}=\frac{5a}{a+0,6b}=\frac{5·5a}{5(a+0,6b)}= \\ =\frac{25a}{5a+3b} \end{gathered}$$

а) Исходная дробь: $\frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2}$.
Сначала упростим числитель. Вынесем общий множитель 3 за скобки внутри квадрата:
$(3a - 3c)^2 = (3(a - c))^2 = 3^2 \cdot (a - c)^2 = 9(a - c)^2$.
Теперь упростим знаменатель. Вынесем общий множитель 9 за скобки и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$9a^2 - 9c^2 = 9(a^2 - c^2) = 9(a - c)(a + c)$.
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
$\frac{9(a - c)^2}{9(a - c)(a + c)}$.
Сократим общие множители 9 и $(a - c)$:
$\frac{\cancel{9}(a - c)^{\cancel{2}}}{\cancel{9}\cancel{(a - c)}(a + c)} = \frac{a - c}{a + c}$.
Ответ: $\frac{a - c}{a + c}$

б) Исходная дробь: $\frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3}$.
Упростим числитель. Выражение $a^2 - 9$ является разностью квадратов $a^2 - 3^2$, которую разложим на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.
Тогда числитель равен:
$(a^2 - 9)^2 = ((a - 3)(a + 3))^2 = (a - 3)^2(a + 3)^2$.
Теперь рассмотрим знаменатель. Заметим, что $(3 - a) = -(a - 3)$.
Тогда знаменатель равен:
$(3 - a)^3 = (-(a - 3))^3 = (-1)^3(a - 3)^3 = -(a - 3)^3$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{(a - 3)^2(a + 3)^2}{-(a - 3)^3}$.
Сократим общий множитель $(a - 3)^2$:
$\frac{\cancel{(a - 3)^2}(a + 3)^2}{-(a - 3)^{\cancel{3}}} = \frac{(a + 3)^2}{-(a - 3)} = -\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$.
Ответ: $-\frac{(a + 3)^2}{a - 3}$

в) Исходная дробь: $\frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3}$.
Упростим числитель. Выражение $8y^3 - 1$ является разностью кубов $(2y)^3 - 1^3$. Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$:
$8y^3 - 1 = (2y - 1)((2y)^2 + 2y \cdot 1 + 1^2) = (2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)$.
Теперь упростим знаменатель. Вынесем общий множитель $y$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов:
$y - 4y^3 = y(1 - 4y^2) = y(1^2 - (2y)^2) = y(1 - 2y)(1 + 2y)$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{(2y - 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 - 2y)(1 + 2y)}$.
Заметим, что $(2y - 1) = -(1 - 2y)$. Заменим это в числителе:
$\frac{-(1 - 2y)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 - 2y)(1 + 2y)}$.
Сократим общий множитель $(1 - 2y)$:
$\frac{-\cancel{(1 - 2y)}(4y^2 + 2y + 1)}{y\cancel{(1 - 2y)}(1 + 2y)} = -\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(1 + 2y)}$.
Ответ: $-\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)}$

г) Исходная дробь: $\frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0.36b^2}$.
Упростим числитель, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$5a^2 - 3ab = a(5a - 3b)$.
Теперь упростим знаменатель. Выражение $a^2 - 0.36b^2$ является разностью квадратов, так как $0.36b^2 = (0.6b)^2$. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 0.36b^2 = (a - 0.6b)(a + 0.6b)$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{a(5a - 3b)}{(a - 0.6b)(a + 0.6b)}$.
Чтобы найти общий множитель, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0.6 = \frac{3}{5}$.
Вынесем $\frac{1}{5}$ за скобки в первом множителе знаменателя: $a - 0.6b = a - \frac{3}{5}b = \frac{1}{5}(5a - 3b)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{a(5a - 3b)}{\frac{1}{5}(5a - 3b)(a + 0.6b)}$.
Сократим общий множитель $(5a - 3b)$:
$\frac{a\cancel{(5a - 3b)}}{\frac{1}{5}\cancel{(5a - 3b)}(a + 0.6b)} = \frac{a}{\frac{1}{5}(a + 0.6b)} = \frac{5a}{a + 0.6b}$.
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, представим $0.6b$ как $\frac{3}{5}b$ и умножим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{5a}{a + \frac{3}{5}b} = \frac{5a \cdot 5}{(a + \frac{3}{5}b) \cdot 5} = \frac{25a}{5a + 3b}$.
Ответ: $\frac{25a}{5a + 3b}$