Номер 217, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 217, страница 56.

217. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{\overline{a0a0}}{101}=\frac{1000a+0+10a+0}{101}= \\ =\frac{10a(100+1)}{101}=\frac{10a·101}{101}=10a \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\overline{a00a}}{91}=\frac{1000a+a}{91}=\frac{a(1000+1)}{91}= \\ =\frac{a·1001}{91}=11a \end{gathered}$$

а)

В числителе дроби стоит запись $\overline{a0a00}$, которая обозначает пятизначное число. Цифра a не может быть нулем, так как она является первой цифрой числа. Для того чтобы сократить дробь, представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{a0a00} = a \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$

Выполнив умножение, получим:

$\overline{a0a00} = 10000a + 100a = 10100a$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{\overline{a0a00}}{101} = \frac{10100a}{101}$.

Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель на знаменатель. Заметим, что $10100 = 101 \cdot 100$.

Следовательно, можем выполнить сокращение:

$\frac{101 \cdot 100 \cdot a}{101} = 100a$.

Ответ: $100a$.

б)

В числителе дроби стоит запись $\overline{a00a}$, которая обозначает четырехзначное число, где a — ненулевая цифра. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{a00a} = a \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + a \cdot 10^0$

$\overline{a00a} = 1000a + a = 1001a$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\overline{a00a}}{91} = \frac{1001a}{91}$.

Для сокращения дроби проверим, делится ли число 1001 на 91. Мы можем разложить 1001 на множители. Известно, что $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$. Знаменатель 91 также можно разложить на множители: $91 = 7 \cdot 13$.

Теперь сократим дробь, используя эти разложения:

$\frac{1001a}{91} = \frac{(7 \cdot 11 \cdot 13)a}{7 \cdot 13}$.

Сократив общие множители 7 и 13 в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{(\cancel{7} \cdot 11 \cdot \cancel{13})a}{\cancel{7} \cdot \cancel{13}} = 11a$.

Ответ: $11a$.