Номер 210, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 210, страница 56.

210. Найдите значение дроби 3x² - xy + 6y²y² если x - yy= 2.

$\frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2},$ если $\frac{x-y}{y}=2;$ $x-y=2y;$ $x=3y$

$$\begin{gathered} \frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2}=\frac{3x^2-xy}{y^2}+\frac{6y^2}{y^2}= \\ =\frac{x(3x-y)}{y^2}+6_{ /x=3y}=\frac{3y(3·3y-y)}{y^2}+6= \\ =\frac{3y·8y}{y^2}+6=\frac{24y^2}{y^2}+6=24+6=30 \end{gathered}$$

Для решения этой задачи нам нужно найти значение выражения, используя данное условие. Существует несколько способов это сделать.

Способ 1: Выражение одной переменной через другую

Сначала преобразуем данное нам условие $\frac{x-y}{y} = 2$. Так как $y$ находится в знаменателе, мы можем заключить, что $y \neq 0$.

$x - y = 2y$

Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y + y$

$x = 3y$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходную дробь:

$\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2} = \frac{3(3y)^2 - (3y)y + 6y^2}{y^2}$

Упростим числитель:

$\frac{3(9y^2) - 3y^2 + 6y^2}{y^2} = \frac{27y^2 - 3y^2 + 6y^2}{y^2}$

Сложим и вычтем члены в числителе:

$\frac{(27 - 3 + 6)y^2}{y^2} = \frac{30y^2}{y^2}$

Поскольку $y \neq 0$, мы можем сократить дробь на $y^2$:

$\frac{30y^2}{y^2} = 30$

Способ 2: Преобразование дроби

Сначала преобразуем условие $\frac{x-y}{y} = 2$, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x}{y} - \frac{y}{y} = 2$

$\frac{x}{y} - 1 = 2$

$\frac{x}{y} = 3$

Теперь преобразуем дробь, которую нужно вычислить, разделив каждый член числителя на $y^2$:

$\frac{3x^2 - xy + 6y^2}{y^2} = \frac{3x^2}{y^2} - \frac{xy}{y^2} + \frac{6y^2}{y^2}$

Упростим каждый член:

$3(\frac{x}{y})^2 - \frac{x}{y} + 6$

Теперь подставим найденное значение $\frac{x}{y} = 3$ в полученное выражение:

$3(3)^2 - 3 + 6 = 3 \cdot 9 - 3 + 6 = 27 - 3 + 6 = 24 + 6 = 30$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $30$