Номер 205, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 205, страница 55.

205. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, найдите целые значения дроби:

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{m^2-6m+10}{m-3}=\frac{m^2-6m+9+1}{m-3}= \\ =\frac{{(m-3)}^2+1}{m-3}=\frac{{(m-3)}^2}{m-3}+\frac{1}{m-3}= \\ =m-3+\frac{1}{m-3} \end{gathered}$$

Значение m-3 при любом целом m является целым числом. Значение дроби $\frac{1}{m-3}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

$$\begin{gathered} m-3=1 \\ m=4 \end{gathered}$$ и $$\begin{gathered} m-3=-1 \\ m=2 \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{при}}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{;} \\ 2-3+\frac{1}{2-3}=-1-1=-2 \\ \mathbf{\text{при}}\mathbf{ }\mathit{m}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{;} 4-3+\frac{1}{4-3}=2 \end{gathered}$$

Ответ: 2 и -2

 

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{{(m-4)}^2}{m-2}=\frac{m^2-8m+16}{m-2}= \\ =\frac{(m-2)(m-6)+4}{m-2}=\frac{(m-2)(m-6)}{m-2}+ \\ +\frac{4}{m-2}=m-6+\frac{4}{m-2} \end{gathered}$$

Значение m-6 при любом целом m является целым числом. Значение дроби $\frac{4}{m-2}$является целым числом тогда и только тогда, когда 

$$\begin{gathered} m-2=1; \\ m=3 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=-1; \\ m=1 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=2; \\ m=4 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=-2; \\ m=0 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=4; \\ m=6 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} m-2=-4; \\ m=-2 \end{gathered}$$

при m=3   $3-6+\frac{4}{3-2}=-3+4=1$

при m=1   $1-6+\frac{4}{1-2}=-5-4=-9$

при m=4   $4-6+\frac{4}{4-2}=-2+2=0$

при m=0   $0-6+\frac{4}{0-2}=-6-2=-8$

при m=6   $6-6+\frac{4}{6-2}=1$

при m=-2   $-2-6+\frac{4}{-2-2}=-8-1=-9$

Ответ: -9; -8; 0; 1

Для того чтобы найти все целые значения, которые может принимать дробь с целой переменной $m$, необходимо преобразовать её так, чтобы выделить целую часть. Это достигается путем деления числителя на знаменатель (например, "уголком") или с помощью алгебраических преобразований, чтобы представить дробь в виде суммы многочлена от $m$ и остатка, деленного на знаменатель. Поскольку $m$ — целое число, значение многочлена также будет целым. Следовательно, исходное выражение будет целым только тогда, когда дробная часть (остаток/знаменатель) также будет принимать целые значения. Это происходит, когда знаменатель является делителем числителя остатка.

а) Найдём целые значения дроби $ \frac{m^2 - 6m + 10}{m - 3} $.

Преобразуем числитель, выделив в нём выражение, кратное знаменателю. Для этого можно выделить полный квадрат, связанный со знаменателем $m-3$.

$ m^2 - 6m + 10 = (m^2 - 6m + 9) + 1 = (m-3)^2 + 1 $.

Теперь подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(m-3)^2 + 1}{m-3} = \frac{(m-3)^2}{m-3} + \frac{1}{m-3} = m - 3 + \frac{1}{m-3} $.

Так как $m$ — целое число, выражение $m-3$ также является целым. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $ \frac{1}{m-3} $ было целым. Это возможно только в том случае, если знаменатель $m-3$ является делителем числа 1.

Целыми делителями числа 1 являются 1 и -1. Рассмотрим эти два случая:

1. Если $m - 3 = 1$, то $m = 4$. Значение дроби равно: $ (4 - 3) + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$.
2. Если $m - 3 = -1$, то $m = 2$. Значение дроби равно: $ (2 - 3) + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$.

Таким образом, данная дробь может принимать два целых значения.

Ответ: -2; 2.

б) Найдём целые значения дроби $ \frac{(m-4)^2}{m-2} $.

Преобразуем числитель, чтобы выделить в нём слагаемые, кратные знаменателю $m-2$. Для удобства можно сделать замену $k = m - 2$, из которой следует, что $m-4 = (m-2) - 2 = k-2$.

Подставим это в дробь:

$ \frac{(k-2)^2}{k} = \frac{k^2 - 4k + 4}{k} = \frac{k^2}{k} - \frac{4k}{k} + \frac{4}{k} = k - 4 + \frac{4}{k} $.

Вернёмся к переменной $m$, подставив $k = m-2$:

$ (m-2) - 4 + \frac{4}{m-2} = m - 6 + \frac{4}{m-2} $.

Так как $m$ — целое число, выражение $m-6$ также является целым. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $ \frac{4}{m-2} $ была целым числом. Это означает, что знаменатель $m-2$ должен быть одним из целых делителей числа 4.

Целые делители числа 4: $ \pm 1, \pm 2, \pm 4$. Рассмотрим все шесть случаев и найдем соответствующие значения дроби:

• Если $m-2=1$, то $m=3$. Значение дроби: $(3-6)+\frac{4}{1} = -3+4 = 1$.
• Если $m-2=-1$, то $m=1$. Значение дроби: $(1-6)+\frac{4}{-1} = -5-4 = -9$.
• Если $m-2=2$, то $m=4$. Значение дроби: $(4-6)+\frac{4}{2} = -2+2 = 0$.
• Если $m-2=-2$, то $m=0$. Значение дроби: $(0-6)+\frac{4}{-2} = -6-2 = -8$.
• Если $m-2=4$, то $m=6$. Значение дроби: $(6-6)+\frac{4}{4} = 0+1 = 1$.
• Если $m-2=-4$, то $m=-2$. Значение дроби: $(-2-6)+\frac{4}{-4} = -8-1 = -9$.

Уникальные целые значения, которые принимает дробь: -9, -8, 0, 1.

Ответ: -9; -8; 0; 1.