Номер 201, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 201, страница 55.

201. При каких значениях a и b равенство является тождеством?

$$\begin{gathered} \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2} \\ \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{ax-2a+bx-b}{(x-1)(x-2)}=\frac{(ax+bx)+(-2a-b)}{(x-1)(x-2)}= \\ =\frac{(a+b)x+(-2a-b)}{(x-1)(x-2)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{c}a+b=6\\ -2a-b=0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}-a=6\\ a+b=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=-6\\ -6+b=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=6\\ b=12\end{array}\right.$

Ответ: при a=-6; b=12

Данное равенство является тождеством, если оно выполняется для всех допустимых значений переменной $x$. Область допустимых значений для данного равенства — все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=2$, так как при этих значениях знаменатели обращаются в ноль.

Для того чтобы найти значения $a$ и $b$, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$: $$ \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

Сложим дроби в правой части: $$ \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

Теперь исходное равенство можно записать в виде: $$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях равенства одинаковы, для выполнения тождества необходимо, чтобы их числители были равны для всех допустимых значений $x$: $$ 6x = a(x-2) + b(x-1) $$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые с $x$ и свободные члены: $$ 6x = ax - 2a + bx - b $$ $$ 6x + 0 = (a+b)x + (-2a - b) $$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены в левой и правой частях, получим систему уравнений: $$ \begin{cases} a+b = 6 \\ -2a - b = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $b$: $$ -b = 2a $$ $$ b = -2a $$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $$ a + (-2a) = 6 $$ $$ -a = 6 $$ $$ a = -6 $$

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в выражение $b = -2a$: $$ b = -2 \cdot (-6) $$ $$ b = 12 $$

Следовательно, равенство является тождеством при $a = -6$ и $b = 12$.

Ответ: $a = -6, b = 12$.