Номер 199, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 199, страница 51.

199. (Задача-исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}$

Приведём к общему знаменателю правую часть равенства

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)+b(x-5)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{ax+2a+bx-5b}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{(ax+bx)+(2a-5b)}{(x-5)(x+2)}=\frac{(a+b)x+(2a-5b)}{(x-5)(x+2)} \end{gathered}$$

Учитывая левую часть равенства, составим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{cc}a+b=5& /·5\\ 2a-5b=31& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}5a+5b=25\\ 2a-5b=31\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}7a=56\\ a+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=8\\ 8+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}a=8\\ b=-3\end{array}\right.$

При a=8 и b=-3 равенство является тождеством.

Проверим полученный ответ.

$$\begin{gathered} \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{8}{x-5}+\frac{-3}{x+2} \\ \frac{8}{x-5}-\frac{3}{x+2}=\frac{8(x+2)-3(x-5)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{8x+16-3x+15}{(x-5)(x+2)}=\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} \end{gathered}$$

1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

Чтобы данное равенство было тождеством, оно должно выполняться для всех допустимых значений переменной $x$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного равенства определяется условием, что знаменатели не равны нулю, то есть $x - 5 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq 5$ и $x \neq -2$.

Для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$ необходимо выполнить следующие преобразования:

1. Привести дроби в правой части равенства к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(x-5)(x+2)$.
2. После приведения к общему знаменателю, дроби в левой и правой частях равенства будут иметь одинаковые знаменатели.
3. Для того чтобы равенство было тождеством, числители этих дробей также должны быть тождественно равны. То есть, многочлен в числителе слева должен быть равен многочлену в числителе справа для всех $x$ из ОДЗ.
4. Приравняв числители, мы получим равенство двух многочленов. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$.
5. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$. Решив эту систему, мы найдем искомые значения.

Ответ: Нужно привести правую часть к общему знаменателю и приравнять числители левой и правой частей. Затем, используя условие равенства многочленов (равенство коэффициентов при одинаковых степенях $x$), составить и решить систему уравнений относительно $a$ и $b$.

2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

Исходное равенство: $$ \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} $$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-5)(x+2)$: $$ \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)} + \frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} $$

Теперь приравняем исходное равенство к полученному выражению: $$ \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} $$

Так как знаменатели равны, для выполнения тождества должны быть равны и числители: $$ 5x + 31 = a(x+2) + b(x-5) $$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые по степеням $x$: $$ 5x + 31 = ax + 2a + bx - 5b $$ $$ 5x + 31 = (a+b)x + (2a - 5b) $$

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

• Коэффициенты при $x^1$: $a+b = 5$
• Свободные члены (коэффициенты при $x^0$): $2a - 5b = 31$

Получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 5b = 31 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 5-b$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$ 2(5-b) - 5b = 31 $$ $$ 10 - 2b - 5b = 31 $$ $$ 10 - 7b = 31 $$ $$ -7b = 31 - 10 $$ $$ -7b = 21 $$ $$ b = \frac{21}{-7} = -3 $$

Теперь найдем $a$: $$ a = 5 - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 $$

Ответ: $a=8$, $b=-3$.

3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Равенство является тождеством при значениях $a=8$ и $b=-3$.

Проверка: Подставим найденные значения $a=8$ и $b=-3$ в правую часть исходного равенства и выполним преобразования: $$ \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{8}{x-5} + \frac{-3}{x+2} = \frac{8}{x-5} - \frac{3}{x+2} $$

Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{8(x+2) - 3(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{8x + 16 - 3x + 15}{(x-5)(x+2)} = \frac{(8-3)x + (16+15)}{(x-5)(x+2)} = \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} $$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, найденные значения $a$ и $b$ верны.

Ответ: Равенство является тождеством при $a=8$ и $b=-3$.