Номер 198, страница 51 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 198, страница 51.

198. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:

a) $\frac{5{(x-y)}^2}{{(3y-3x)}^2}=\frac{5{(x-y)}^2}{(3{(y-x))}^2}=\frac{5{(x-y)}^2}{9{(x-y)}^2}=\frac{5}{9}$

б) $\frac{{(3x-6y)}^2}{4{(2y-x)}^2}=\frac{(3{(x-2y))}^2}{4{(2y-x)}^2}=\frac{9{(2y-x)}^2}{4{(2y-x)}^2}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$

а)

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{5(x-y)^2}{(3y-3x)^2} $ не зависит от значений переменных, нужно упростить это выражение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$ (3y-3x)^2 \neq 0 $

$ 3y - 3x \neq 0 $

$ 3(y - x) \neq 0 $

$ y \neq x $

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель 3 за скобки внутри квадрата:

$ (3y-3x)^2 = (3(y-x))^2 $

Используя свойство степени $ (ab)^n = a^n b^n $, получаем:

$ (3(y-x))^2 = 3^2(y-x)^2 = 9(y-x)^2 $

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{5(x-y)^2}{9(y-x)^2} $

Заметим, что выражения $ (x-y) $ и $ (y-x) $ противоположны, то есть $ (x-y) = -(y-x) $. При возведении в квадрат это свойство дает нам равенство:

$ (x-y)^2 = (-(y-x))^2 = (-1)^2 (y-x)^2 = (y-x)^2 $

Теперь мы можем сократить дробь, так как $ (x-y)^2 = (y-x)^2 $ и, согласно ОДЗ, это выражение не равно нулю:

$ \frac{5(x-y)^2}{9(y-x)^2} = \frac{5\cancel{(y-x)^2}}{9\cancel{(y-x)^2}} = \frac{5}{9} $

Результатом является число, не зависящее от $ x $ и $ y $, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{5}{9} $.

б)

Чтобы доказать, что значение дроби $ \frac{(3x-6y)^2}{4(2y-x)^2} $ не зависит от значений переменных, нужно упростить это выражение.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ 4(2y-x)^2 \neq 0 $

$ (2y-x)^2 \neq 0 $

$ 2y-x \neq 0 $

$ x \neq 2y $

Преобразуем числитель. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$ (3x-6y)^2 = (3(x-2y))^2 $

Используя свойство степени $ (ab)^n = a^n b^n $, получаем:

$ (3(x-2y))^2 = 3^2(x-2y)^2 = 9(x-2y)^2 $

Подставим преобразованный числитель в исходную дробь:

$ \frac{9(x-2y)^2}{4(2y-x)^2} $

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $. Для наших выражений это означает:

$ (x-2y)^2 = (-(2y-x))^2 = (2y-x)^2 $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (согласно ОДЗ, они не равны нулю):

$ \frac{9(x-2y)^2}{4(2y-x)^2} = \frac{9\cancel{(2y-x)^2}}{4\cancel{(2y-x)^2}} = \frac{9}{4} $

Результатом является число, не зависящее от $ x $ и $ y $, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \frac{9}{4} $.