Номер 191, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 191, страница 49.

191. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:

1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций y =$\frac{k}{x}$.

3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

a) $\frac{k}{x}=x^2, k>0$

Ответ: 1

б) $\frac{k}{x}=x^2, k<0$

Ответ: 1

в) $\frac{k}{x}=x^3, k>0$

Ответ: 2

г) $\frac{k}{x}=x^3, k<0$

Ответ: 0 решений

Для решения задачи воспользуемся графическим методом. Количество решений каждого уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. В каждом случае мы будем строить график функции $y = \frac{k}{x}$ (гипербола) и график соответствующей степенной функции.

a) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^2$ при условии $k > 0$.

Рассмотрим графики двух функций: $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Парабола расположена в I и II координатных четвертях.

Сравнивая расположение графиков, видим, что они могут пересечься только в I координатной четверти, где $x > 0$. В этой четверти ветвь гиперболы $y_1 = \frac{k}{x}$ является убывающей функцией, а ветвь параболы $y_2 = x^2$ — возрастающей. Убывающая и возрастающая функции на одном промежутке могут иметь не более одной точки пересечения. Так как при $x \to 0^+$ значение $y_1$ стремится к $+\infty$, а $y_2$ к $0$, а при $x \to +\infty$ значение $y_1$ стремится к $0$, а $y_2$ к $+\infty$, то одна точка пересечения гарантированно существует.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 решение.

б) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^2$ при условии $k < 0$.

Рассмотрим графики функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^2$ — парабола, расположенная в I и II координатных четвертях.

Сравнивая расположение графиков, видим, что они могут пересечься только во II координатной четверти, где $x < 0$. В этой четверти ветвь гиперболы $y_1 = \frac{k}{x}$ является возрастающей функцией, а ветвь параболы $y_2 = x^2$ — убывающей. Аналогично предыдущему пункту, графики будут иметь ровно одну точку пересечения.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 решение.

в) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^3$ при условии $k > 0$.

Рассмотрим графики функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^3$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является нечетной и возрастающей на всей области определения.

Графики могут пересечься в тех четвертях, где они оба существуют, то есть в I и III.
- В I четверти ($x > 0$): $y_1 = \frac{k}{x}$ убывает, а $y_2 = x^3$ возрастает, следовательно, есть ровно одна точка пересечения.
- В III четверти ($x < 0$): $y_1 = \frac{k}{x}$ также убывает (от $0$ до $-\infty$), а $y_2 = x^3$ возрастает (от $-\infty$ до $0$), следовательно, здесь также есть ровно одна точка пересечения.

Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения.

г) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^3$ при условии $k < 0$.

Рассмотрим графики функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^3$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Поскольку множества координатных четвертей, в которых расположены графики, не пересекаются (II и IV для гиперболы, I и III для кубической параболы), то и сами графики не имеют общих точек.
Алгебраически: уравнение $\frac{k}{x} = x^3$ можно преобразовать к виду $x^4 = k$ (при $x \ne 0$). Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, а по условию $k < 0$, то уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.