Номер 189, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 189, страница 49.

189. Постройте график функции y =$\frac{6}{x}$ и, используя его, решите уравнение:

$y=\frac{6}{x}$

x	1	2	3	6	-1	-2	-3	-6
y	6	3	2	1	-6	-3	-2	-1

a) $\frac{6}{x}=x$

$$\begin{gathered} x\approx 2,4 \\ x\approx -2,4 \\ \text{Ответ:} \approx \pm 2,4 \end{gathered}$$

 

б) $\frac{6}{x}=-x+6$

$$\begin{gathered} x\approx 4,7 \\ x\approx 1,3 \\ \text{Ответ:} \approx 1,3; \approx 4,7 \end{gathered}$$

Для решения уравнений графическим методом сначала построим график функции $y = \frac{6}{x}$.

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=6 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для построения графика:

$x$	-6	-3	-2	-1	1	2	3	6
$y = \frac{6}{x}$	-1	-2	-3	-6	6	3	2	1

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Теперь, используя построенный график, решим уравнения.

а) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = x$, нужно найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = x$.

Построим на той же координатной плоскости график функции $y=x$. Это прямая, которая является биссектрисой I и III координатных углов и проходит через начало координат.

Видно, что графики пересекаются в двух точках: одна в первой четверти, другая — в третьей. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Из графика можно определить, что точки пересечения имеют координаты примерно $(2.4, 2.4)$ и $(-2.4, -2.4)$.

Для нахождения точного значения решим уравнение аналитически:
$\frac{6}{x} = x$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$

Таким образом, точные значения абсцисс точек пересечения равны $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{6}, x_2 = -\sqrt{6}$.

б) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = -x + 6$, нужно найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = -x + 6$.

Построим на той же координатной плоскости график функции $y = -x + 6$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = -0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
• Если $y=0$, то $0 = -x + 6$, откуда $x=6$. Точка $(6, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Прямая $y = -x + 6$ пересекает ветвь гиперболы $y = \frac{6}{x}$ в первой четверти в двух точках. По графику можно приблизительно определить абсциссы этих точек: $x \approx 1.3$ и $x \approx 4.7$.

Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически:
$\frac{6}{x} = -x + 6$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$6 = -x^2 + 6x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 6x + 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, точные решения: $x_1 = 3 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{3}$. Это соответствует нашим графическим оценкам, так как $\sqrt{3} \approx 1.73$.

Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3}$.