Номер 188, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 188, страница 49.

188. Постройте график функции:

a) $y=\frac{2}{x}$

x	1	2	-1	-2
y	2	1	-2	-1

б) $y=-\frac{2}{x}$

x	1	2	-1	-2
y	-2	-1	2	1

в) $y=\frac{3}{x}$

x	1	1,5	3	-1	-1,5	-3
y	3	2	1	-3	-2	-1

г) $y=-\frac{4}{x}$

x	1	2	4	-1	-2	-4
y	-4	-2	-1	4	2	1

д) $y=\frac{1}{2x}$

x	0,5	1	-1	-0,5
y	1	0,5	-0,5	-1

е) $y=-\frac{2}{5x}$

x	1	0,5	-1	-0,5
y	-0,4	-0,8	0,4	0,8

а) Функция $y = \frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=2$. Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ (уравнение $y=0$) и $Oy$ (уравнение $x=0$) являются асимптотами графика, то есть линиями, к которым график приближается бесконечно близко, но не пересекает их. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:
при $x=1$, $y=2$;
при $x=2$, $y=1$;
при $x=0.5$, $y=4$;
при $x=-1$, $y=-2$;
при $x=-2$, $y=-1$;
при $x=-0.5$, $y=-4$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим искомый график.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.

б) Функция $y = -\frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-2$. Графиком является гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика. График этой функции симметричен графику функции $y = \frac{2}{x}$ относительно оси абсцисс (или оси ординат). Найдем координаты нескольких точек:
при $x=-1$, $y=2$;
при $x=-2$, $y=1$;
при $x=-0.5$, $y=4$;
при $x=1$, $y=-2$;
при $x=2$, $y=-1$;
при $x=0.5$, $y=-4$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(-1, 2), (-2, 1), (1, -2), (2, -1)$.

в) Функция $y = \frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=3$. Графиком является гипербола. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. По сравнению с графиком $y=\frac{2}{x}$, этот график будет дальше от начала координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=1$, $y=3$;
при $x=3$, $y=1$;
при $x=0.5$, $y=6$;
при $x=-1$, $y=-3$;
при $x=-3$, $y=-1$;
при $x=-0.5$, $y=-6$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$.

г) Функция $y = -\frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=-4$. Графиком является гипербола. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. По сравнению с графиком $y=-\frac{2}{x}$, этот график будет дальше от начала координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=-1$, $y=4$;
при $x=-2$, $y=2$;
при $x=-4$, $y=1$;
при $x=1$, $y=-4$;
при $x=2$, $y=-2$;
при $x=4$, $y=-1$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(-1, 4), (-2, 2), (1, -4), (2, -2)$.

д) Функцию $y = \frac{1}{2x}$ можно записать в виде $y = \frac{0.5}{x}$. Это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=0.5$. Графиком является гипербола. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Так как $|k| < 1$, ветви гиперболы будут прижаты к осям координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=1$, $y=0.5$;
при $x=2$, $y=0.25$;
при $x=0.5$, $y=1$;
при $x=-1$, $y=-0.5$;
при $x=-2$, $y=-0.25$;
при $x=-0.5$, $y=-1$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(1, 0.5), (0.5, 1), (-1, -0.5), (-0.5, -1)$.

е) Функцию $y = -\frac{2}{5x}$ можно записать в виде $y = \frac{-0.4}{x}$. Это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=-0.4$. Графиком является гипербола. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Так как $|k| < 1$, ветви гиперболы будут прижаты к осям координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=-1$, $y=0.4$;
при $x=-2$, $y=0.2$;
при $x=-0.4$, $y=1$;
при $x=1$, $y=-0.4$;
при $x=2$, $y=-0.2$;
при $x=0.4$, $y=-1$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(-1, 0.4), (1, -0.4), (-0.4, 1), (0.4, -1)$.