Страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

185. Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12.

Известно, что $y=\frac{k}{x}$

$$\begin{gathered} x=2; y=12 \\ 12=\frac{k}{2}; k=24 \\ y=\frac{24}{x} \end{gathered}$$

Обратная пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — аргумент (независимая переменная), $y$ — значение функции (зависимая переменная), а $k$ — не равный нулю коэффициент пропорциональности.

По условию задачи, нам даны значения аргумента и соответствующее ему значение функции. Аргумент $x = 2$, а значение функции $y = 12$. Мы можем использовать эти значения для нахождения коэффициента $k$.

Подставим известные значения в общую формулу обратной пропорциональности:

$12 = \frac{k}{2}$

Для того чтобы найти $k$, выразим его из этого уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на 2:

$k = 12 \cdot 2$

$k = 24$

Теперь, зная коэффициент $k=24$, мы можем записать искомую формулу, подставив это значение в общий вид функции:

$y = \frac{24}{x}$

Ответ: $y = \frac{24}{x}$

186. На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой y = 8x. Найдите по графику:

а) значение y, соответствующее значению х, равному 2; 4; –1; –4; –5;

б) значение х, которому соответствует значение y, равное –4; –2; 8.

$y=\frac{8}{x}$

a)

б) y=-4; x=-2

y=-2; x=-4

y=8; x=1

а) Чтобы найти значение y по графику, соответствующее заданному значению x, необходимо выполнить следующие действия: найти на горизонтальной оси (оси абсцисс Ox) заданное значение x, затем провести вертикальную линию до пересечения с графиком функции. От этой точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с вертикальной осью (осью ординат Oy). Значение на оси Oy и будет искомым значением y.

Выполним это для заданных значений x:
- Если x = 2, находим на оси Ox значение 2, поднимаемся до графика и видим, что соответствующая точка на оси Oy имеет значение 4. Значит, y = 4.
- Если x = 4, по графику находим, что y = 2.
- Если x = -1, находим на оси Ox значение -1, опускаемся до графика и видим, что соответствующая точка на оси Oy имеет значение -8. Значит, y = -8.
- Если x = -4, по графику находим, что y = -2.
- Если x = -5, находим на оси Ox значение -5. Соответствующая точка на графике находится между ординатами -1 и -2. Для более точного ответа воспользуемся формулой функции: $y = \frac{8}{x} = \frac{8}{-5} = -1.6$.

Ответ: при x = 2, y = 4; при x = 4, y = 2; при x = -1, y = -8; при x = -4, y = -2; при x = -5, y = -1.6.

б) Чтобы найти значение x по графику, которому соответствует заданное значение y, необходимо выполнить обратные действия: найти на вертикальной оси (оси ординат Oy) заданное значение y, затем провести горизонтальную линию до пересечения с графиком функции. От этой точки пересечения провести вертикальную линию до пересечения с горизонтальной осью (осью абсцисс Ox). Значение на оси Ox и будет искомым значением x.

Выполним это для заданных значений y:
- Если y = -4, находим на оси Oy значение -4, движемся горизонтально влево до графика и видим, что соответствующая точка на оси Ox имеет значение -2. Значит, x = -2.
- Если y = -2, по графику находим, что x = -4.
- Если y = 8, по графику находим, что x = 1.

Ответ: при y = -4, x = -2; при y = -2, x = -4; при y = 8, x = 1.

187. Постройте график функции, заданной формулой y =-8x. Найдите по графику:

а) значение y, соответствующее значению x, равному 4; 2,5; 1,5; –1; –2,5;

б) значение х, которому соответствует значение y, равное 8; –2.

$y=\frac{-8}{x}$

a) x=4; y=-2

x=2,5; y=-3,2

x=1,5; y=-5,3

x=-1; y=8

x=-2,5; y=3,2

б) y=8; x=-1

y=-2; x=4

Для построения графика функции $y = \frac{-8}{x}$ сначала определим ее свойства. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k = -8$ отрицательный, ветви гиперболы будут располагаться во II и IV координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика, то есть кривые графика приближаются к ним, но не пересекают.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек каждой ветви.

Для ветви в IV четверти ($x > 0$):
- если $x=1$, то $y = \frac{-8}{1} = -8$;
- если $x=2$, то $y = \frac{-8}{2} = -4$;
- если $x=4$, то $y = \frac{-8}{4} = -2$;
- если $x=8$, то $y = \frac{-8}{8} = -1$.

Для ветви во II четверти ($x < 0$):
- если $x=-1$, то $y = \frac{-8}{-1} = 8$;
- если $x=-2$, то $y = \frac{-8}{-2} = 4$;
- если $x=-4$, то $y = \frac{-8}{-4} = 2$;
- если $x=-8$, то $y = \frac{-8}{-8} = 1$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим график функции (гиперболу). Далее будем использовать этот построенный график для нахождения требуемых значений.

а) Найдем значение $y$, соответствующее заданным значениям $x$. Для этого на оси абсцисс находим заданное значение $x$, восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком и определяем ординату полученной точки.
- при $x = 4$, находим на графике точку с абсциссой 4. Ее ордината равна -2. Итак, $y = -2$.
- при $x = 2,5$, соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -3,2$. (Точный расчет: $y = \frac{-8}{2,5} = -3,2$).
- при $x = 1,5$, соответствующая точка на графике имеет ординату $y \approx -5,33$. (Точный расчет: $y = \frac{-8}{1,5} = -\frac{16}{3} \approx -5,33$).
- при $x = -1$, находим на графике точку с абсциссой -1. Ее ордината равна 8. Итак, $y = 8$.
- при $x = -2,5$, соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 3,2$. (Точный расчет: $y = \frac{-8}{-2,5} = 3,2$).
Ответ: -2; -3,2; $\approx -5,33$; 8; 3,2.

б) Найдем значение $x$, которому соответствует заданное значение $y$. Для этого на оси ординат находим заданное значение $y$, проводим горизонтальную прямую до пересечения с графиком и определяем абсциссу полученной точки.
- при $y = 8$, находим на графике точку с ординатой 8. Ее абсцисса равна -1. Итак, $x = -1$.
- при $y = -2$, находим на графике точку с ординатой -2. Ее абсцисса равна 4. Итак, $x = 4$.
Ответ: -1; 4.

188. Постройте график функции:

a) $y=\frac{2}{x}$

б) $y=-\frac{2}{x}$

в) $y=\frac{3}{x}$

г) $y=-\frac{4}{x}$

д) $y=\frac{1}{2x}$

е) $y=-\frac{2}{5x}$

а) Функция $y = \frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=2$. Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат $Ox$ (уравнение $y=0$) и $Oy$ (уравнение $x=0$) являются асимптотами графика, то есть линиями, к которым график приближается бесконечно близко, но не пересекает их. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:
при $x=1$, $y=2$;
при $x=2$, $y=1$;
при $x=0.5$, $y=4$;
при $x=-1$, $y=-2$;
при $x=-2$, $y=-1$;
при $x=-0.5$, $y=-4$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим искомый график.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$.

б) Функция $y = -\frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k=-2$. Графиком является гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Оси $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами графика. График этой функции симметричен графику функции $y = \frac{2}{x}$ относительно оси абсцисс (или оси ординат). Найдем координаты нескольких точек:
при $x=-1$, $y=2$;
при $x=-2$, $y=1$;
при $x=-0.5$, $y=4$;
при $x=1$, $y=-2$;
при $x=2$, $y=-1$;
при $x=0.5$, $y=-4$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(-1, 2), (-2, 1), (1, -2), (2, -1)$.

в) Функция $y = \frac{3}{x}$ — это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=3$. Графиком является гипербола. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. По сравнению с графиком $y=\frac{2}{x}$, этот график будет дальше от начала координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=1$, $y=3$;
при $x=3$, $y=1$;
при $x=0.5$, $y=6$;
при $x=-1$, $y=-3$;
при $x=-3$, $y=-1$;
при $x=-0.5$, $y=-6$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)$.

г) Функция $y = -\frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=-4$. Графиком является гипербола. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. По сравнению с графиком $y=-\frac{2}{x}$, этот график будет дальше от начала координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=-1$, $y=4$;
при $x=-2$, $y=2$;
при $x=-4$, $y=1$;
при $x=1$, $y=-4$;
при $x=2$, $y=-2$;
при $x=4$, $y=-1$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(-1, 4), (-2, 2), (1, -4), (2, -2)$.

д) Функцию $y = \frac{1}{2x}$ можно записать в виде $y = \frac{0.5}{x}$. Это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=0.5$. Графиком является гипербола. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Так как $|k| < 1$, ветви гиперболы будут прижаты к осям координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=1$, $y=0.5$;
при $x=2$, $y=0.25$;
при $x=0.5$, $y=1$;
при $x=-1$, $y=-0.5$;
при $x=-2$, $y=-0.25$;
при $x=-0.5$, $y=-1$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(1, 0.5), (0.5, 1), (-1, -0.5), (-0.5, -1)$.

е) Функцию $y = -\frac{2}{5x}$ можно записать в виде $y = \frac{-0.4}{x}$. Это обратная пропорциональность с коэффициентом $k=-0.4$. Графиком является гипербола. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. Так как $|k| < 1$, ветви гиперболы будут прижаты к осям координат. Найдем координаты нескольких точек:
при $x=-1$, $y=0.4$;
при $x=-2$, $y=0.2$;
при $x=-0.4$, $y=1$;
при $x=1$, $y=-0.4$;
при $x=2$, $y=-0.2$;
при $x=0.4$, $y=-1$.
Построим график по этим точкам.
Ответ: График функции — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты: оси координат. Ключевые точки: $(-1, 0.4), (1, -0.4), (-0.4, 1), (0.4, -1)$.

189. Постройте график функции y =$\frac{6}{x}$ и, используя его, решите уравнение:

$y=\frac{6}{x}$

a) $\frac{6}{x}=x$

$$\begin{gathered} x\approx 2,4 \\ x\approx -2,4 \\ \text{Ответ:} \approx \pm 2,4 \end{gathered}$$

б) $\frac{6}{x}=-x+6$

$$\begin{gathered} x\approx 4,7 \\ x\approx 1,3 \\ \text{Ответ:} \approx 1,3; \approx 4,7 \end{gathered}$$

Для решения уравнений графическим методом сначала построим график функции $y = \frac{6}{x}$.

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=6 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для построения графика:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Теперь, используя построенный график, решим уравнения.

а) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = x$, нужно найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = x$.

Построим на той же координатной плоскости график функции $y=x$. Это прямая, которая является биссектрисой I и III координатных углов и проходит через начало координат.

Видно, что графики пересекаются в двух точках: одна в первой четверти, другая — в третьей. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Из графика можно определить, что точки пересечения имеют координаты примерно $(2.4, 2.4)$ и $(-2.4, -2.4)$.

Для нахождения точного значения решим уравнение аналитически:
$\frac{6}{x} = x$
$x^2 = 6$
$x = \pm\sqrt{6}$

Таким образом, точные значения абсцисс точек пересечения равны $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$.

Ответ: $x_1 = \sqrt{6}, x_2 = -\sqrt{6}$.

б) Чтобы решить уравнение $\frac{6}{x} = -x + 6$, нужно найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = -x + 6$.

Построим на той же координатной плоскости график функции $y = -x + 6$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x=0$, то $y = -0 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.
• Если $y=0$, то $0 = -x + 6$, откуда $x=6$. Точка $(6, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Прямая $y = -x + 6$ пересекает ветвь гиперболы $y = \frac{6}{x}$ в первой четверти в двух точках. По графику можно приблизительно определить абсциссы этих точек: $x \approx 1.3$ и $x \approx 4.7$.

Для нахождения точных значений решим уравнение аналитически:
$\frac{6}{x} = -x + 6$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$6 = -x^2 + 6x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 6x + 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$.
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, точные решения: $x_1 = 3 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{3}$. Это соответствует нашим графическим оценкам, так как $\sqrt{3} \approx 1.73$.

Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{3}, x_2 = 3 + \sqrt{3}$.

190. Решите графически уравнение:

a) $\frac{8}{x}=x^2$

$y=\frac{8}{x}$

$y=x^2$

x=2

Ответ: 2

б) $\frac{8}{x}=x^3$

$$\begin{gathered} y=\frac{8}{x} \text{(см. табл. в }\mathit{\text{а}}\mathbf{\text{)}}\text{ )} \\ y=x^3 \end{gathered}$$

Ответ: $\approx \pm 1,7$

а)

Чтобы решить уравнение $ \frac{8}{x} = x^2 $ графически, нужно построить в одной системе координат графики функций $ y = \frac{8}{x} $ и $ y = x^2 $ и найти абсциссу(ы) их точек пересечения.

1. Построение графика функции $ y = x^2 $.
Это парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек:
При $ x = 0, y = 0 $
При $ x = 1, y = 1^2 = 1 $
При $ x = 2, y = 2^2 = 4 $
При $ x = -1, y = (-1)^2 = 1 $
При $ x = -2, y = (-2)^2 = 4 $

2. Построение графика функции $ y = \frac{8}{x} $.
Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения $ x \neq 0 $. Для построения возьмем несколько точек:
При $ x = 1, y = 8/1 = 8 $
При $ x = 2, y = 8/2 = 4 $
При $ x = 4, y = 8/4 = 2 $
При $ x = 8, y = 8/8 = 1 $
При $ x = -2, y = 8/(-2) = -4 $

3. Нахождение точки пересечения.
Совместим графики на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке в первой четверти. Координаты этой точки $(2, 4)$. Абсцисса точки пересечения и является решением уравнения.

Проверка:
Подставим найденное значение $x=2$ в исходное уравнение:
$ \frac{8}{2} = 2^2 $
$ 4 = 4 $
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x=2$.

б)

Чтобы решить уравнение $ \frac{8}{x} = x^3 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \frac{8}{x} $ и $ y = x^3 $ и найдем абсциссы их точек пересечения.

1. Построение графика функции $ y = x^3 $.
Это кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него. Для построения возьмем несколько точек:
При $ x = 0, y = 0 $
При $ x = 1, y = 1^3 = 1 $
При $ x = 2, y = 2^3 = 8 $
При $ x = -1, y = (-1)^3 = -1 $
При $ x = -2, y = (-2)^3 = -8 $

2. Построение графика функции $ y = \frac{8}{x} $.
Как и в предыдущем пункте, это гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. Возьмем точки:
При $ x = 1, y = 8 $
При $ x = 2, y = 4 $
При $ x = -1, y = -8 $
При $ x = -2, y = -4 $

3. Нахождение точек пересечения.
Совместим графики на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках: одна в первой координатной четверти, другая — в третьей.
В первой четверти: при $x=1$ значение функции $y=x^3$ равно 1, а $y=8/x$ равно 8. При $x=2$ значение $y=x^3$ равно 8, а $y=8/x$ равно 4. Значит, точка пересечения находится между $x=1$ и $x=2$.
В третьей четверти: при $x=-1$ значение функции $y=x^3$ равно -1, а $y=8/x$ равно -8. При $x=-2$ значение $y=x^3$ равно -8, а $y=8/x$ равно -4. Значит, точка пересечения находится между $x=-2$ и $x=-1$.
Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически:
$ \frac{8}{x} = x^3 $
$ 8 = x^4 $
$ x = \pm \sqrt[4]{8} $
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[4]{8}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{8}$. Графический метод позволяет нам увидеть количество корней и их приблизительное расположение.

Ответ: $x_1 = \sqrt[4]{8}, x_2 = -\sqrt[4]{8}$.

191. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:

1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций y =$\frac{k}{x}$.

3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

a) $\frac{k}{x}=x^2, k>0$

Ответ: 1

б) $\frac{k}{x}=x^2, k<0$

Ответ: 1

в) $\frac{k}{x}=x^3, k>0$

Ответ: 2

г) $\frac{k}{x}=x^3, k<0$

Ответ: 0 решений

Для решения задачи воспользуемся графическим методом. Количество решений каждого уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. В каждом случае мы будем строить график функции $y = \frac{k}{x}$ (гипербола) и график соответствующей степенной функции.

a) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^2$ при условии $k > 0$.

Рассмотрим графики двух функций: $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Парабола расположена в I и II координатных четвертях.

Сравнивая расположение графиков, видим, что они могут пересечься только в I координатной четверти, где $x > 0$. В этой четверти ветвь гиперболы $y_1 = \frac{k}{x}$ является убывающей функцией, а ветвь параболы $y_2 = x^2$ — возрастающей. Убывающая и возрастающая функции на одном промежутке могут иметь не более одной точки пересечения. Так как при $x \to 0^+$ значение $y_1$ стремится к $+\infty$, а $y_2$ к $0$, а при $x \to +\infty$ значение $y_1$ стремится к $0$, а $y_2$ к $+\infty$, то одна точка пересечения гарантированно существует.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 решение.

б) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^2$ при условии $k < 0$.

Рассмотрим графики функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^2$ — парабола, расположенная в I и II координатных четвертях.

Сравнивая расположение графиков, видим, что они могут пересечься только во II координатной четверти, где $x < 0$. В этой четверти ветвь гиперболы $y_1 = \frac{k}{x}$ является возрастающей функцией, а ветвь параболы $y_2 = x^2$ — убывающей. Аналогично предыдущему пункту, графики будут иметь ровно одну точку пересечения.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 решение.

в) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^3$ при условии $k > 0$.

Рассмотрим графики функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^3$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является нечетной и возрастающей на всей области определения.

Графики могут пересечься в тех четвертях, где они оба существуют, то есть в I и III.
- В I четверти ($x > 0$): $y_1 = \frac{k}{x}$ убывает, а $y_2 = x^3$ возрастает, следовательно, есть ровно одна точка пересечения.
- В III четверти ($x < 0$): $y_1 = \frac{k}{x}$ также убывает (от $0$ до $-\infty$), а $y_2 = x^3$ возрастает (от $-\infty$ до $0$), следовательно, здесь также есть ровно одна точка пересечения.

Следовательно, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения.

г) Решаем уравнение $\frac{k}{x} = x^3$ при условии $k < 0$.

Рассмотрим графики функций $y_1 = \frac{k}{x}$ и $y_2 = x^3$.

1. График функции $y_1 = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ — гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях.

2. График функции $y_2 = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Поскольку множества координатных четвертей, в которых расположены графики, не пересекаются (II и IV для гиперболы, I и III для кубической параболы), то и сами графики не имеют общих точек.
Алгебраически: уравнение $\frac{k}{x} = x^3$ можно преобразовать к виду $x^4 = k$ (при $x \ne 0$). Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, а по условию $k < 0$, то уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, графики не пересекаются.

Ответ: 0 решений.