Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

159. При каком значении a выражение принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} (0,5{(a-1)}^2-18)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right)= \\ =0,5({(a-1)}^2-36)·\frac{{(a+5)}^2+{(a-7)}^2}{(a-7)(a+5)}= \\ =0,5(a-1-6)(a-1+6)\times \\ \times \frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{(a-7)(a+5)}= \\ =0,5(a-7)(a+5)\frac{2a^2-4a+74}{(a-7)(a+5)}= \\ =0,5(2a^2-4a+74)=a^2-2a+37= \\ =a^2-2a+1+36={(a-1)}^2+36 \end{gathered}$$

при a=1 данное выражение принимает наименьшее значение, равное 36

Ответ: при a=1; 36

Для нахождения наименьшего значения выражения $E(a) = (0,5(a - 1)^2 - 18)\left(\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5}\right)$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно:

$a - 7 \neq 0 \implies a \neq 7$

$a + 5 \neq 0 \implies a \neq -5$

Таким образом, ОДЗ: $a \in (-\infty; -5) \cup (-5; 7) \cup (7; +\infty)$.

Далее упростим исходное выражение. Для этого преобразуем каждую из скобок по отдельности.

Преобразуем первую скобку:

$0,5(a - 1)^2 - 18 = \frac{1}{2}(a^2 - 2a + 1) - 18 = \frac{1}{2}a^2 - a + \frac{1}{2} - 18 = \frac{1}{2}a^2 - a - \frac{35}{2}$.

Вынеся общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, получаем: $\frac{1}{2}(a^2 - 2a - 35)$.

Преобразуем вторую скобку, приведя дроби к общему знаменателю $(a-7)(a+5)$:

$\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5} = \frac{(a+5)^2 + (a-7)^2}{(a-7)(a+5)} = \frac{(a^2 + 10a + 25) + (a^2 - 14a + 49)}{a^2 + 5a - 7a - 35} = \frac{2a^2 - 4a + 74}{a^2 - 2a - 35} = \frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}$.

Теперь перемножим упрощенные выражения для скобок:

$E(a) = \frac{1}{2}(a^2 - 2a - 35) \cdot \frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}$.

В области допустимых значений выражение $a^2 - 2a - 35$ (которое равно $(a-7)(a+5)$) не равно нулю, поэтому на него можно сократить:

$E(a) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (a^2 - 2a + 37) = a^2 - 2a + 37$.

В результате упрощения мы получили квадратичную функцию $E(a) = a^2 - 2a + 37$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1>0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Чтобы найти значение $a$, при котором достигается минимум, можно выделить полный квадрат:

$a^2 - 2a + 37 = (a^2 - 2a + 1) - 1 + 37 = (a-1)^2 + 36$.

Выражение $(a-1)^2$ всегда больше или равно нулю. Его наименьшее значение, равное 0, достигается при $a-1=0$, то есть при $a=1$. Это значение входит в ОДЗ.

Наименьшее значение всего выражения равно значению функции при $a=1$:

$E_{min} = (1-1)^2 + 36 = 0 + 36 = 36$.

Ответ: при $a=1$ выражение принимает наименьшее значение, равное 36.

160. При каком значении b выражение 81(0,5b + 9)² + (0,5b - 9)² принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} \frac{81}{{(0,5b+9)}^2+{(0,5b-9)}^2}= \\ =\frac{81}{0,25b^2+9b+81+0,25b^2-9b+81}= \\ =\frac{81}{0,5b^2+162}=\frac{81}{0,5(b^2+324)}= \\ =\frac{810}{5(b^2+324)}=\frac{162}{b^2+324} \end{gathered}$$

при b=0 данное выражение принимает наибольшее значение, равное $\frac{162}{324}=\frac{1}{2}$

Ответ: при b=0; $\frac{1}{2}$

Чтобы найти наибольшее значение дроби с постоянным положительным числителем, необходимо найти наименьшее значение её знаменателя. Обозначим данное выражение как $E(b)$, а его знаменатель как $D(b)$.

$E(b) = \frac{81}{(0.5b + 9)^2 + (0.5b - 9)^2}$

$D(b) = (0.5b + 9)^2 + (0.5b - 9)^2$

Упростим выражение в знаменателе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ и квадрат разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

$D(b) = ((0.5b)^2 + 2 \cdot 0.5b \cdot 9 + 9^2) + ((0.5b)^2 - 2 \cdot 0.5b \cdot 9 + 9^2)$

$D(b) = (0.25b^2 + 9b + 81) + (0.25b^2 - 9b + 81)$

Приведем подобные слагаемые, взаимно уничтожив $9b$ и $-9b$:

$D(b) = 0.25b^2 + 0.25b^2 + 81 + 81 = 0.5b^2 + 162$

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{81}{0.5b^2 + 162}$.

При каком значении b выражение принимает наибольшее значение?

Как мы установили, выражение достигает максимума, когда его знаменатель $D(b) = 0.5b^2 + 162$ минимален. Знаменатель является квадратичной функцией от $b$ с положительным коэффициентом при $b^2$, поэтому его график — парабола с ветвями вверх. Минимум такой функции достигается в ее вершине. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), и его наименьшее значение равно 0, которое достигается при $b = 0$.

Следовательно, знаменатель $D(b)$ принимает свое наименьшее значение при $b=0$. Это и есть искомое значение $b$.

Ответ: при $b = 0$.

Найдите это значение.

Чтобы найти наибольшее значение всего выражения, нужно подставить найденное значение $b=0$ в исходную формулу. Проще всего это сделать, подставив наименьшее значение знаменателя, которое мы уже вычислили.

Минимальное значение знаменателя при $b=0$:

$D_{min} = 0.5 \cdot (0)^2 + 162 = 162$.

Теперь вычислим наибольшее значение всего выражения:

$E_{max} = \frac{81}{D_{min}} = \frac{81}{162} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$.

161. Докажите тождество:

a) $\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}·\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)=\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}·$
$$\begin{gathered} ·\frac{p^2-q^2}{qp}=\frac{2p-q}{pq}-\frac{(p-q)(p+q)}{(p+q)pq}=\frac{2p-q}{pq}- \\ -\frac{p-q}{pq}=\frac{2p-q-p+q}{pq}=\frac{p}{pq}=\frac{1}{q} \end{gathered}$$

б) $\frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}$
$$\begin{gathered} \frac{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b(b-a)}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{2(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{b}{a-b}+\frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{2b·2a}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b} \\ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{ab+b^2+ab-b^2}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \end{gathered}$$

a)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку. Цель — получить выражение, стоящее в правой части.

Исходное выражение в левой части: $ \frac{2p-q}{pq} - \frac{1}{p+q} \cdot \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right) $

1. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $pq$:

$ \frac{p}{q} - \frac{q}{p} = \frac{p \cdot p}{pq} - \frac{q \cdot q}{pq} = \frac{p^2 - q^2}{pq} $

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим числитель на множители:

$ \frac{p^2 - q^2}{pq} = \frac{(p-q)(p+q)}{pq} $

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{1}{p+q} \cdot \frac{(p-q)(p+q)}{pq} $

Сокращаем общий множитель $(p+q)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $p+q \ne 0$):

$ \frac{1}{\cancel{p+q}} \cdot \frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{pq} = \frac{p-q}{pq} $

3. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$ \frac{2p-q}{pq} - \frac{p-q}{pq} $

Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычитаем их числители:

$ \frac{(2p-q) - (p-q)}{pq} = \frac{2p - q - p + q}{pq} = \frac{p}{pq} $

Сокращаем дробь на $p$ (при условии, что $p \ne 0$):

$ \frac{\cancel{p}}{\cancel{p}q} = \frac{1}{q} $

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, равное правой части: $ \frac{1}{q} = \frac{1}{q} $. Тождество справедливо для всех допустимых значений переменных ($p \ne 0, q \ne 0, p \ne -q$).

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества преобразуем по отдельности его левую и правую части и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части: $ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} $

1. Приведем дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(a+b)(a+b)}{2(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

2. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{2(a-b)(a+b)} $

3. Приведем подобные слагаемые в числителе и сократим полученную дробь:

$ \frac{4ab}{2(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} $

Используя формулу разности квадратов, преобразуем знаменатель:

$ \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Преобразование правой части: $ \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} $

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Общий знаменатель — $(a-b)(a+b)$.

$ \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)} $

2. Запишем дроби под общим знаменателем и упростим числитель:

$ \frac{b(a+b) - (b^2-ab)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab+b^2-b^2+ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} $

3. Свернем знаменатель по формуле разности квадратов:

$ \frac{2ab}{a^2-b^2} $

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению: $ \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $. Тождество справедливо для всех допустимых значений переменных ($a \ne b, a \ne -b$).

Ответ: тождество доказано.

162. Докажите тождество:

a) $\frac{1,2x^2-xy}{0,36x^2-0,25y^2}=\frac{20x}{6x+5y}$
$$\begin{gathered} \frac{1,2x^2-xy}{0,36x^2-0,25y^2}=\frac{x(1,2x-y)}{(0,6x-0,5y)(0,6x+0,5y)}= \\ =\frac{10x·10(1,2x-y)}{10(0,6x-0,5y)·10(0,6x+0,5y)}= \\ =\frac{10x(12x-10y)}{(6x-5y)(6x+5y)}=\frac{10x·2(6x-5)}{(6x-5y)(6x+5y)}= \\ =\frac{20x}{6x+5y} \end{gathered}$$

б) $\frac{4,5a+4x}{0,81a^2-0,64x^2}=\frac{50}{9a-8x}$
$$\begin{gathered} \frac{4,5a+4x}{0,81a^2-0,64x^2}=\frac{4,5a+4x}{(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)}= \\ =\frac{(4,5a+4x)·10·10}{10(0,9a-0,8x)(0,9a+0,8x)}= \\ =\frac{10(45a+40x)}{(9a-8x)(9a+8x)}= \\ =\frac{10·5(9a+8x)}{(9a-8x)(9a+8x)}=\frac{50}{9a-8x} \end{gathered}$$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, заметив, что $0,36x^2 = (0,6x)^2$ и $0,25y^2 = (0,5y)^2$.

$ \frac{1,2x^2 - xy}{0,36x^2 - 0,25y^2} = \frac{x(1,2x - y)}{(0,6x)^2 - (0,5y)^2} = \frac{x(1,2x - y)}{(0,6x - 0,5y)(0,6x + 0,5y)} $

В числителе вынесем множитель 2 из скобки: $1,2x - y = 2(0,6x - 0,5y)$. Подставим это выражение обратно в дробь и сократим на общий множитель $(0,6x - 0,5y)$:

$ \frac{x \cdot 2(0,6x - 0,5y)}{(0,6x - 0,5y)(0,6x + 0,5y)} = \frac{2x}{0,6x + 0,5y} $

Чтобы привести дробь к виду в правой части тождества, умножим ее числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{2x \cdot 10}{(0,6x + 0,5y) \cdot 10} = \frac{20x}{6x + 5y} $

Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Разложим знаменатель $0,81a^2 - 0,64x^2$ по формуле разности квадратов: $(0,9a)^2 - (0,8x)^2 = (0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)$. В числителе $4,5a + 4x$ вынесем за скобки общий множитель 5, получив $5(0,9a + 0,8x)$.

$ \frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 - 0,64x^2} = \frac{5(0,9a + 0,8x)}{(0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)} $

Сократим дробь на общий множитель $(0,9a + 0,8x)$:

$ \frac{5}{0,9a - 0,8x} $

Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$ \frac{5 \cdot 10}{(0,9a - 0,8x) \cdot 10} = \frac{50}{9a - 8x} $

Преобразованная левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

163. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

a) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right)·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{4ab+{(a-b)}^2}{2(a+b)(a-b)}·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{(4ab+a^2-2ab+b^2)·a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{(a^2+2ab+b^2)a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{{(a+b)}^2·a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1 \end{gathered}$$

б) $\frac{y}{x-y}-\frac{x^3-x{y}^2}{x^2+y^2}·\left(\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}·\left(\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}\right)= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}·\frac{x(x+y)-y(x-y)}{{(x-y)}^2(x+y)}= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2+xy-xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x-y)}= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x-y)}= \\ =\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}=-1 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Исходное выражение: $ (\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $ a^2 - b^2 \neq 0 \implies (a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq b $ и $ a \neq -b $. $ 2a + 2b \neq 0 \implies 2(a+b) \neq 0 \implies a \neq -b $. $ a + b \neq 0 \implies a \neq -b $. $ b - a \neq 0 \implies b \neq a $. Следовательно, ОДЗ: $ a \neq \pm b $.

Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. $ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} $ Общий знаменатель: $ 2(a - b)(a + b) $. $ \frac{2ab \cdot 2}{2(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)} $ Раскроем квадрат разности в числителе: $ \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} $ Числитель является полным квадратом суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $. $ \frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)} $ Сократим дробь на $ (a+b) $, так как из ОДЗ $ a+b \neq 0 $: $ \frac{a + b}{2(a - b)} $

2. Выполним умножение: $ (\frac{a + b}{2(a - b)}) \cdot \frac{2a}{a + b} $ Сократим на $ 2 $ и на $ (a+b) $: $ \frac{a}{a - b} $

3. Выполним сложение: $ \frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} $ Заметим, что $ b - a = -(a - b) $. $ \frac{a}{a - b} + \frac{b}{-(a - b)} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} $ Так как из ОДЗ $ a - b \neq 0 $, то $ \frac{a - b}{a - b} = 1 $.

Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных, следовательно, оно не зависит от $a$ и $b$.

Ответ: 1.

б) Исходное выражение: $ (\frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2}) \cdot (\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}) $.

ОДЗ: $ x - y \neq 0 \implies x \neq y $; $ x^2 - y^2 \neq 0 \implies x \neq \pm y $. Также $ x^2+y^2 \neq 0 $, что выполняется для всех действительных $x, y$, кроме $x=y=0$, но этот случай уже исключен условием $x \neq y$. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq y $ и $ x \neq -y $.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, оно должно быть постоянным для любых допустимых значений $x$ и $y$. Проверим это, подставив в выражение две разные пары допустимых значений.

1. Пусть $ x = 2, y = 1 $. Эти значения входят в ОДЗ. $ (\frac{1}{2 - 1} - \frac{2^3 - 2 \cdot 1^2}{2^2 + 1^2}) \cdot (\frac{2}{(2 - 1)^2} - \frac{1}{2^2 - 1^2}) $ $ = (1 - \frac{8 - 2}{4 + 1}) \cdot (\frac{2}{1^2} - \frac{1}{4 - 1}) $ $ = (1 - \frac{6}{5}) \cdot (2 - \frac{1}{3}) $ $ = (\frac{5 - 6}{5}) \cdot (\frac{6 - 1}{3}) $ $ = (-\frac{1}{5}) \cdot (\frac{5}{3}) = -\frac{1}{3} $

2. Пусть $ x = 3, y = 1 $. Эти значения также входят в ОДЗ. $ (\frac{1}{3 - 1} - \frac{3^3 - 3 \cdot 1^2}{3^2 + 1^2}) \cdot (\frac{3}{(3 - 1)^2} - \frac{1}{3^2 - 1^2}) $ $ = (\frac{1}{2} - \frac{27 - 3}{9 + 1}) \cdot (\frac{3}{2^2} - \frac{1}{9 - 1}) $ $ = (\frac{1}{2} - \frac{24}{10}) \cdot (\frac{3}{4} - \frac{1}{8}) $ $ = (\frac{5}{10} - \frac{24}{10}) \cdot (\frac{6}{8} - \frac{1}{8}) $ $ = (-\frac{19}{10}) \cdot (\frac{5}{8}) = -\frac{19 \cdot 5}{10 \cdot 8} = -\frac{19}{16} $

Поскольку $ -\frac{1}{3} \neq -\frac{19}{16} $, значение выражения зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Для выражения, представленного в задании, доказать его независимость от переменных невозможно.

Ответ: Утверждение в задаче неверно для данного выражения, так как его значение зависит от переменных.

164. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения является натуральным числом.

$$\begin{gathered} \left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)= \\ =\frac{27+n^3}{3n^2}:\frac{9-3n+n^2}{3n^2}= \\ =\frac{(3+n)(9-3n+n^2)}{3n^2}·\frac{3n^2}{9-3n+n^2}=3+n \end{gathered}$$

при любом $n\in N$ выражение $3+n\in N$

Для доказательства данного утверждения необходимо упростить исходное выражение.

Рассмотрим выражение $ (\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3}) $.

Сначала выполним действия в каждой из скобок, приведя дроби к общему знаменателю.

В первых скобках общим знаменателем будет $3n^2$:

$ \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} = \frac{9 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} + \frac{n \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2} $

Во вторых скобках общим знаменателем также будет $3n^2$:

$ \frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 3n}{n \cdot 3n} + \frac{1 \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2} $

Теперь выполним деление полученных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{n^2 - 3n + 9}{3n^2} = \frac{n^3 + 27}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{n^2 - 3n + 9} $

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $3n^2 \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $3n^2$:

$ \frac{n^3 + 27}{n^2 - 3n + 9} $

Числитель $n^3 + 27$ представляет собой сумму кубов $n^3 + 3^3$. Разложим его на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ n^3 + 27 = (n+3)(n^2 - n \cdot 3 + 3^2) = (n+3)(n^2 - 3n + 9) $

Подставим разложенный числитель обратно в выражение и сократим дробь:

$ \frac{(n+3)(n^2 - 3n + 9)}{n^2 - 3n + 9} = n+3 $

(Сокращение возможно, так как выражение $n^2 - 3n + 9$ не равно нулю ни при каком значении $n$, его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$).

В результате упрощения мы получили выражение $n+3$. По условию, $n$ — любое натуральное число. Сумма натурального числа $n$ и натурального числа $3$ всегда будет являться натуральным числом.

Ответ: Значение выражения при любом натуральном $n$ равно $n+3$, что является натуральным числом, и это доказывает утверждение.

165. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:

a) ${\left(n+\frac{1}{n}\right)}^2=n^2+2+\frac{1}{n^2}=\frac{n^4+2n^2+1}{n^2}=\frac{{(n^2+1)}^2}{n^2}$

б) ${\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)}^2={\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)}^2=\frac{a^4-2a^2{b}^2+b^4}{a^2{b}^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(\frac{x}{y}+1\right)}^2+{\left(\frac{x}{y}-1\right)}^2=\frac{x^2}{y^2}+2·\frac{x}{y}+1+ \\ +\frac{x^2}{y^2}-2·\frac{x}{y}+1=2·\frac{x^2}{y^2}+2=\frac{2x^2+2y^2}{y^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}{\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)}^2-{\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)}^2= \\ =\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}-\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}+\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)= \\ =\frac{2q}{p}·\frac{2p}{q}=\frac{2y·2p}{pq}=4 \end{gathered}$$

а) Чтобы представить выражение $ (n + \frac{1}{n})^2 $ в виде рациональной дроби, используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. Подставив $ a = n $ и $ b = \frac{1}{n} $, получаем: $ (n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} $. Затем приведем слагаемые к общему знаменателю $ n^2 $: $ \frac{n^2 \cdot n^2}{n^2} + \frac{2 \cdot n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} $.
Ответ: $ \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} $.

б) Для выражения $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2 $ применим формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $. Здесь $ x = \frac{a}{b} $ и $ y = \frac{b}{a} $. Получаем: $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2} $. Чтобы представить результат в виде одной рациональной дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $ a^2b^2 $: $ \frac{a^2 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} - \frac{2 a^2 b^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2 \cdot b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2} $.

в) Для упрощения выражения $ (\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} - 1)^2 $ воспользуемся тождеством $ (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2) $. Пусть $ a = \frac{x}{y} $ и $ b = 1 $. Тогда выражение равно $ 2 \cdot ((\frac{x}{y})^2 + 1^2) = 2 \cdot (\frac{x^2}{y^2} + 1) $. Приводя выражение в скобках к общему знаменателю $ y^2 $, получаем: $ 2 \cdot (\frac{x^2 + y^2}{y^2}) = \frac{2(x^2 + y^2)}{y^2} = \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2} $.
Ответ: $ \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2} $.

г) Для выражения $ (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 $ удобно применить тождество $ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab $. В нашем случае $ a = \frac{p}{q} $ и $ b = \frac{q}{p} $. Подставляя эти значения в тождество, получаем: $ 4 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} $. Сокращая дроби, находим результат: $ 4 \cdot \frac{pq}{qp} = 4 \cdot 1 = 4 $. Результатом является многочлен нулевой степени.
Ответ: $ 4 $.

166. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=\frac{x-1}{x}:\frac{x+1}{x}= \\ =\frac{x-1}{x}·\frac{x}{x+1}=\frac{x-1}{x+1} \end{gathered}$$

б) $\frac{{\displaystyle \frac{2a-b}{b}}+1}{{\displaystyle \frac{2a+b}{b}}-1}=\frac{{\displaystyle \frac{2a-b+b}{b}}}{{\displaystyle \frac{2a+b-b}{b}}}=\frac{2a}{b}:\frac{2a}{b}=1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{{\displaystyle \frac{x}{y^2}}+{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{y^2}}-{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}}}{{\displaystyle \frac{x^3-y^3}{x^2{y}^2}}}=\frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}:\frac{x^3-y^3}{x^2{y}^2}= \\ =\frac{x^3+y^3}{x^2{y}^2}·\frac{x^2{y}^2}{x^3-y^3}=\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}}{{\displaystyle \frac{1}{ab}}+{\displaystyle \frac{1}{bc}}+{\displaystyle \frac{1}{ac}}}=\frac{{\displaystyle \frac{bc+ac+ab}{abc}}}{{\displaystyle \frac{c+a+b}{abc}}}= \\ =\frac{bc+ac+ab}{abc}:\frac{a+b+c}{abc}= \\ =\frac{ab+bc+ac}{abc}·\frac{abc}{a+b+c}=\frac{ab+bc+ac}{a+b+c} \end{gathered}$$

а) Преобразуем числитель и знаменатель сложной дроби, приведя их к общему знаменателю $x$.

В числителе получаем: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.

В знаменателе получаем: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.

Теперь выполним деление полученных дробей:

$\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$.

Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

б) Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя каждое выражение к общему знаменателю $b$.

Преобразование числителя: $\frac{2a-b}{b} + 1 = \frac{2a-b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a-b+b}{b} = \frac{2a}{b}$.

Преобразование знаменателя: $\frac{2a+b}{b} - 1 = \frac{2a+b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{2a+b-b}{b} = \frac{2a}{b}$.

Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1$.

Это равенство справедливо при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Ответ: $1$.

в) Преобразуем числитель и знаменатель, приведя дроби в них к общему знаменателю $x^2y^2$.

В числителе: $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3+y^3}{x^2y^2}$.

В знаменателе: $\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3-y^3}{x^2y^2}$.

Теперь разделим полученные выражения:

$\frac{\frac{x^3+y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3-y^3}{x^2y^2}} = \frac{x^3+y^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{x^3-y^3} = \frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$.

Ответ: $\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$.

г) Для упрощения данного выражения приведем к общему знаменателю $abc$ выражения в числителе и знаменателе основной дроби.

Преобразуем числитель: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+bc+ac}{abc}$.

Преобразуем знаменатель: $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = \frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.

Выполним деление полученных дробей:

$\frac{\frac{ab+bc+ac}{abc}}{\frac{a+b+c}{abc}} = \frac{ab+bc+ac}{abc} \cdot \frac{abc}{a+b+c} = \frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$.

Ответ: $\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$.