Страница 37 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

140. Выполните деление:

a) m² - 3m8x² : 3m8x;

б) 5a²6b³ : a³ab - b²;

в) x² + x³11a² : 4 + 4xa³;

г) 6axm² - 2m : 8ax3m - 6;

д) a² - 3ab3b : (7a - 21b);

е) (x² - 4y²) : 5x - 10yx;

ж) (2a - b)² : 4a³ - ab²3;

з) (10m - 15n) : (2m - 3n)²2m;

a) $\frac{m^2-3m}{8x^2}:\frac{3m}{8x}=\frac{m(m-3)·8x}{8x^2·3m}=\frac{m-3}{3x}$

б) $\frac{5a^2}{6b^3}:\frac{a^3}{ab-b^2}=\frac{5a^2·b(a-b)}{6b^3·a^3}=\frac{5(a-b)}{6a{b}^2}=\frac{5a-5b}{6a{b}^2}$

в) $\frac{x^2+x^3}{11a^2}:\frac{4+4x}{a^3}=\frac{x^2(1+x)·a^3}{11a^2·4(1+x)}=\frac{a{x}^2}{11·4}=\frac{a{x}^2}{44}$

г) $\frac{6ax}{m^2-2m}:\frac{8ax}{3m-6}=\frac{6ax·3(m-2)}{m(m-2)·8ax}=\frac{18ax}{8axm}=\frac{9}{4m}$

д) $\frac{a^2-3ab}{3b}:(7a-21b)=\frac{a(a-3b)}{3b·7(a-3b)}=\frac{a}{21b}$

е) $(x^2-4y^2):\frac{5x-10y}{x}=\frac{(x-2y)(x+2y)·x}{5(x-2y)}=\frac{x^2+2xy}{5}$

$$\begin{gathered} {\mathbf{\text{ж) }}(2a-b)}^2:\frac{4a^3-a{b}^2}{3}=\frac{{(2a-b)}^2·3}{a(4a^2-b^2)}= \\ =\frac{3·{(2a-b)}^2}{a(2a-b)(2a+b)}=\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}=\frac{6a-3b}{2a^2+ab} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}(10m-15n):\frac{{(2m-3n)}^2}{2m}= \\ =\frac{5(2m-3n)·2m}{{(2m-3n)}^2}=\frac{10m}{2m-3n} \end{gathered}$$

а) Для выполнения деления дробей, мы умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Сначала разложим на множители числитель первой дроби.

$\frac{m^2-3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x} = \frac{m(m-3)}{8x^2} \cdot \frac{8x}{3m}$

Сократим общие множители $m$, $8$ и $x$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{m}(m-3)}{\cancel{8}x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{8x}}{3\cancel{m}} = \frac{m-3}{3x}$

Ответ: $\frac{m-3}{3x}$

б) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Разложим на множители знаменатель второй дроби.

$\frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab-b^2} = \frac{5a^2}{6b^3} \cdot \frac{b(a-b)}{a^3}$

Сократим общие множители $a^2$ и $b$:

$\frac{5\cancel{a^2}}{6b^{\cancel{3}}} \cdot \frac{\cancel{b}(a-b)}{\cancel{a^2} \cdot a} = \frac{5(a-b)}{6ab^2}$

Ответ: $\frac{5(a-b)}{6ab^2}$

в) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби.

$\frac{x^2+x^3}{11a^2} : \frac{4+4x}{a^3} = \frac{x^2(1+x)}{11a^2} \cdot \frac{a^3}{4(1+x)}$

Сократим общие множители $(1+x)$ и $a^2$:

$\frac{x^2\cancel{(1+x)}}{11\cancel{a^2}} \cdot \frac{a^{\cancel{3}}}{4\cancel{(1+x)}} = \frac{x^2 \cdot a}{11 \cdot 4} = \frac{ax^2}{44}$

Ответ: $\frac{ax^2}{44}$

г) Умножаем первую дробь на перевернутую вторую. Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби.

$\frac{6ax}{m^2-2m} : \frac{8ax}{3m-6} = \frac{6ax}{m(m-2)} \cdot \frac{3(m-2)}{8ax}$

Сократим общие множители $ax$, $(m-2)$, а также числовые коэффициенты $6$ и $8$ на $2$:

$\frac{\cancel{6}^3 \cancel{ax}}{m\cancel{(m-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(m-2)}}{\cancel{8}^4 \cancel{ax}} = \frac{3 \cdot 3}{m \cdot 4} = \frac{9}{4m}$

Ответ: $\frac{9}{4m}$

д) Представим выражение в скобках в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй.

$\frac{a^2-3ab}{3b} : (7a-21b) = \frac{a(a-3b)}{3b} \cdot \frac{1}{7(a-3b)}$

Сократим общий множитель $(a-3b)$:

$\frac{a\cancel{(a-3b)}}{3b} \cdot \frac{1}{7\cancel{(a-3b)}} = \frac{a}{3b \cdot 7} = \frac{a}{21b}$

Ответ: $\frac{a}{21b}$

е) Представим первое выражение в виде дроби. Заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим на множители числитель первой дроби (как разность квадратов) и знаменатель второй дроби.

$(x^2-4y^2) : \frac{5x-10y}{x} = \frac{(x-2y)(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5(x-2y)}$

Сократим общий множитель $(x-2y)$:

$\frac{\cancel{(x-2y)}(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5\cancel{(x-2y)}} = \frac{x(x+2y)}{5}$

Ответ: $\frac{x(x+2y)}{5}$

ж) Заменим деление умножением на обратную дробь. Разложим на множители знаменатель второй дроби.

$(2a-b)^2 : \frac{4a^3-ab^2}{3} = \frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(4a^2-b^2)}$

Знаменатель $a(4a^2-b^2)$ можно разложить дальше как разность квадратов: $a(2a-b)(2a+b)$.

$\frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(2a-b)(2a+b)}$

Сократим общий множитель $(2a-b)$:

$\frac{(2a-b)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{3}{a\cancel{(2a-b)}(2a+b)} = \frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

Ответ: $\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

з) Представим первое выражение в виде дроби и заменим деление умножением. Разложим на множители числитель первой дроби.

$(10m-15n) : \frac{(2m-3n)^2}{2m} = \frac{5(2m-3n)}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^2}$

Сократим общий множитель $(2m-3n)$:

$\frac{5\cancel{(2m-3n)}}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot 2m}{2m-3n} = \frac{10m}{2m-3n}$

Ответ: $\frac{10m}{2m-3n}$

141. Выполните действие:

a) x² - xy9y² : 2x3y;

б) 2a³ - a²b36b² : 2a - b9b³;

в) (m² - 16n²) : 3m + 12nmn;

г) 9p² - 1pq - 2q : 1 - 3p3p - 6.

a) $\frac{x^2-xy}{9y^2}:\frac{2x}{3y}=\frac{x(x-y)·3y}{9y^2·2x}=\frac{x-y}{3y·2}=\frac{x-y}{6y}$

б) $\frac{2a^3-a^{2}b}{36b^2}:\frac{2a-b}{9b^3}=\frac{a^2(2a-b)·9b^3}{36b^2(2a-b)}=\frac{a^{2}b}{4}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}(m^2-16n^2):\frac{3m+12n}{mn}= \\ =\frac{(m-4n)(m+4n)·mn}{3(m+4n)}= \\ =\frac{(m-4n)mn}{3}=\frac{m^{2}n-4m{n}^2}{3} \end{gathered}$$

г) $\frac{9p^2-1}{pq-2q}:\frac{1-3p}{3p-6}=\frac{(3p-1)(3p+1)·3(p-2)}{q(p-2)(1-3p)}=$
$=\frac{-3(1-3p)(3p+1)}{q(1-3p)}=\frac{-3(3p+1)}{q}=-\frac{9p+3}{q}$

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Сначала разложим числитель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки.
$ \frac{x^2 - xy}{9y^2} : \frac{2x}{3y} = \frac{x(x-y)}{9y^2} \cdot \frac{3y}{2x} $
Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе ($x$, $3$ и $y$):
$ \frac{\cancel{x}(x-y)}{3 \cdot \cancel{3} y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{3}\cancel{y}}{2\cancel{x}} = \frac{x-y}{3y \cdot 2} = \frac{x-y}{6y} $

Ответ: $\frac{x-y}{6y}$

б) Заменим деление умножением на обратную дробь. Затем разложим числитель первой дроби на множители, вынеся за скобки $a^2$.
$ \frac{2a^3 - a^2b}{36b^2} : \frac{2a-b}{9b^3} = \frac{a^2(2a-b)}{36b^2} \cdot \frac{9b^3}{2a-b} $
Сократим общие множители $(2a-b)$, $9$ и $b^2$:
$ \frac{a^2\cancel{(2a-b)}}{4 \cdot \cancel{9} \cdot \cancel{b^2}} \cdot \frac{\cancel{9}b^{\cancel{3}}b}{\cancel{(2a-b)}} = \frac{a^2 \cdot b}{4} = \frac{a^2b}{4} $

Ответ: $\frac{a^2b}{4}$

в) Представим выражение в скобках в виде дроби и заменим деление умножением на обратную дробь.
$ (m^2 - 16n^2) : \frac{3m + 12n}{mn} = \frac{m^2 - 16n^2}{1} \cdot \frac{mn}{3m + 12n} $
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а в знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $3$ за скобки.
$ \frac{(m-4n)(m+4n)}{1} \cdot \frac{mn}{3(m+4n)} $
Сократим общий множитель $(m+4n)$:
$ \frac{(m-4n)\cancel{(m+4n)}}{1} \cdot \frac{mn}{3\cancel{(m+4n)}} = \frac{mn(m-4n)}{3} $

Ответ: $\frac{mn(m-4n)}{3}$

г) Знак умножения в этом пункте, скорее всего, является опечаткой, так как во всех остальных пунктах задания используется деление, и с делением выражение значительно упрощается. Будем выполнять деление.
$ \frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} : \frac{1-3p}{3p - 6} $
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{9p^2 - 1}{pq - 2q} \cdot \frac{3p - 6}{1 - 3p} $
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
$9p^2 - 1 = (3p-1)(3p+1)$
$pq - 2q = q(p-2)$
$3p - 6 = 3(p-2)$
$1 - 3p = -(3p-1)$
Подставим полученные выражения и выполним сокращение:
$ \frac{(3p-1)(3p+1)}{q(p-2)} \cdot \frac{3(p-2)}{-(3p-1)} = \frac{\cancel{(3p-1)}(3p+1)}{q\cancel{(p-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(p-2)}}{-\cancel{(3p-1)}} = \frac{3p+1}{q} \cdot \frac{3}{-1} = -\frac{3(3p+1)}{q} $

Ответ: $-\frac{3(3p+1)}{q}$

142. Найдите значение выражения:

a) $\frac{4x^2-4x}{x+3}:(2x-2)=\frac{4x(x-1)}{(x+3)·2(x-1)}=\frac{2x}{x+3}$

если

x=2,5; $\frac{2·2,5}{2,5+3}=\frac{5}{5,5}=\frac{50}{55}=\frac{10}{11}$

x=-1; $\frac{2·(-1)}{-1+3}=\frac{-2}{2}=-1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(3a+6b):\frac{2a^2-8b^2}{a+b}=\frac{3(a+2b)·(a+b)}{2(a^2-4b^2)}= \\ =\frac{3(a+2b)(a+b)}{2(a-2b)(a+2b)}=\frac{3(a+b)}{2(a-2b)}=\frac{3a+3b}{2a-4b} \end{gathered}$$

если a=26, b=-12

$\frac{3·26+3·(-12)}{2·26-4·(-12)}=\frac{78-36}{52+48}=\frac{42}{100}=0,42$

а)

Для начала упростим исходное выражение $\frac{4x^2-4x}{x+3} : (2x - 2)$. Деление на многочлен $(2x - 2)$ можно заменить умножением на обратную ему дробь $\frac{1}{2x - 2}$.

$\frac{4x^2-4x}{x+3} : (2x - 2) = \frac{4x^2-4x}{x+3} \cdot \frac{1}{2x-2} = \frac{4x^2-4x}{(x+3)(2x-2)}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель полученной дроби. В числителе вынесем за скобки общий множитель $4x$:
$4x^2-4x = 4x(x-1)$

В знаменателе из выражения $(2x-2)$ вынесем за скобки общий множитель 2:
$(x+3)(2x-2) = (x+3) \cdot 2(x-1)$

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь: $\frac{4x(x-1)}{2(x+3)(x-1)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(x-1)$, при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. $\frac{2 \cdot 2x(x-1)}{2(x+3)(x-1)} = \frac{2x}{x+3}$

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значения при заданных $x$.

1. При $x = 2,5$:
$\frac{2 \cdot 2,5}{2,5+3} = \frac{5}{5,5} = \frac{50}{55} = \frac{10}{11}$

2. При $x = -1$:
$\frac{2 \cdot (-1)}{-1+3} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: при $x=2,5$ значение выражения равно $\frac{10}{11}$; при $x=-1$ значение выражения равно $-1$.

б)

Упростим выражение $(3a + 6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a+b}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$(3a + 6b) \cdot \frac{a+b}{2a^2 - 8b^2}$

Разложим на множители многочлены в выражении. В выражении $(3a+6b)$ вынесем за скобки общий множитель 3:
$3a+6b = 3(a+2b)$

В знаменателе дроби $2a^2-8b^2$ вынесем за скобки 2 и применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$2a^2-8b^2 = 2(a^2-4b^2) = 2(a^2-(2b)^2) = 2(a-2b)(a+2b)$

Запишем выражение с разложенными на множители частями: $\frac{3(a+2b)}{1} \cdot \frac{a+b}{2(a-2b)(a+2b)} = \frac{3(a+2b)(a+b)}{2(a-2b)(a+2b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2b)$, при условии, что $a+2b \neq 0$. $\frac{3(a+b)}{2(a-2b)}$

Подставим заданные значения $a=26$ и $b=-12$ в упрощенное выражение и вычислим результат. $\frac{3(26 + (-12))}{2(26 - 2(-12))} = \frac{3(26-12)}{2(26+24)} = \frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 50} = \frac{42}{100} = 0,42$

Ответ: $0,42$.

143. Выполните деление:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3x+6y}{x^2-y^2}:\frac{5x+10y}{x^2-2xy+y^2}= \\ =\frac{3(x+2y)·{(x-y)}^2}{(x-y)(x+y)·5(x+2y)}=\frac{3(x-y)}{5(x+y)}=\frac{3x-3y}{5x+5y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a^2+4a+4}{16-b^4}:\frac{4-a^2}{4+b^2}= \\ =\frac{{(a+2)}^2·(4+b^2)}{(4-b^2)(4+b^2)·(2-a)(2+a)}=\frac{a+2}{(4-b^2)(2-a)} \end{gathered}$$

а) $\frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{5x + 10y}$

Теперь разложим числители и знаменатели дробей на множители. Для этого будем использовать формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а также вынесение общего множителя за скобки.

Разложим каждый многочлен:

• В числителе первой дроби вынесем общий множитель 3: $3x + 6y = 3(x + 2y)$
• В знаменателе первой дроби применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
• В числителе второй дроби (который стал знаменателем) вынесем общий множитель 5: $5x + 10y = 5(x + 2y)$
• В знаменателе второй дроби (который стал числителем) применим формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Подставим разложенные на множители выражения обратно в наше выражение:

$\frac{3(x + 2y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^2}{5(x + 2y)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(x + 2y)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Также сократим множитель $(x - y)$. В числителе он в степени 2, а в знаменателе — в степени 1, поэтому после сокращения в числителе останется $(x - y)$ в первой степени.

$\frac{3 \cdot \cancel{(x + 2y)}}{\cancel{(x - y)}(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^{\cancel{2}}}{5 \cdot \cancel{(x + 2y)}} = \frac{3(x - y)}{5(x + y)}$

Ответ: $\frac{3(x - y)}{5(x + y)}$

б) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2}$

Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2}$

Разложим многочлены в числителях и знаменателях на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и разность квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Разложим каждый многочлен:

• В числителе первой дроби применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$
• В знаменателе первой дроби применим формулу разности квадратов: $16 - b^4 = (4)^2 - (b^2)^2 = (4 - b^2)(4 + b^2)$
• В знаменателе второй дроби применим формулу разности квадратов: $4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$

Выражение $4 + b^2$ является суммой квадратов и далее на действительные множители не раскладывается.

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{(a + 2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)}$

Сократим общие множители. Множитель $(4 + b^2)$ есть в числителе и знаменателе. Множитель $(a + 2)$ также есть в числителе (в квадрате) и в знаменателе (в виде $(2+a)$, что то же самое). Сокращаем одну степень $(a+2)$.

$\frac{(a + 2)^{\cancel{2}}}{(4 - b^2)\cancel{(4 + b^2)}} \cdot \frac{\cancel{4 + b^2}}{(2 - a)\cancel{(2 + a)}} = \frac{a + 2}{(4 - b^2)(2 - a)}$

Знаменатель $(4 - b^2)$ можно также разложить по формуле разности квадратов: $4 - b^2 = (2 - b)(2 + b)$. Подставим это в итоговое выражение:

$\frac{a + 2}{(2 - b)(2 + b)(2 - a)}$

Дальнейшие сокращения невозможны.

Ответ: $\frac{a + 2}{(2 - b)(2 + b)(2 - a)}$

144. Выполните действие:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{a^2+ax+x^2}{x-1}:\frac{a^3-x^3}{x^2-1}= \\ =\frac{(a^2+ax+x^2)·(x^2-1)}{(x-1)·(a^3-x^3)}= \\ =\frac{(a^2+ax+x^2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(a-x)(a^2+ax+x^2)}=\frac{x+1}{a-x} \end{gathered}$$

б) $\frac{a{p}^2-9a}{p^3-8}:\frac{p+3}{2p-4}=\frac{a(p^2-9)·2(p-2)}{(p^3-8)(p+3)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(p-3)(p+3)·2(p-2)}{(p-2)(p^2+2p+4)(p+3)}=\frac{2a(p-3)}{p^2+2p+4}= \\ =\frac{2ap-6a}{p^2+2p+4} \end{gathered}$$

а) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. В данном случае операция деления обозначена знаком ":".

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} : \frac{a^3 - x^3}{x^2 - 1} = \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{a^3 - x^3} $

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель дробей, где это возможно. Мы будем использовать формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Знаменатель второй дроби: $ a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2) $.

Числитель второй дроби: $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

Подставим полученные разложения в исходное выражение и сократим общие множители:

$ \frac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{\cancel{a^2 + ax + x^2}}{\cancel{x - 1}} \cdot \frac{\cancel{(x - 1)}(x + 1)}{(a - x)\cancel{(a^2 + ax + x^2)}} = \frac{x + 1}{a - x} $

Ответ: $ \frac{x + 1}{a - x} $

б) Выполним аналогичные действия для второго выражения. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.

$ \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} : \frac{p + 3}{2p - 4} = \frac{ap^2 - 9a}{p^3 - 8} \cdot \frac{2p - 4}{p + 3} $

Разложим на множители числители и знаменатели.
Числитель первой дроби: вынесем общий множитель $a$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов.
$ ap^2 - 9a = a(p^2 - 9) = a(p - 3)(p + 3) $

Знаменатель первой дроби: используем формулу разности кубов.
$ p^3 - 8 = p^3 - 2^3 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4) $

Числитель второй дроби: вынесем общий множитель 2 за скобки.
$ 2p - 4 = 2(p - 2) $

Подставим разложенные многочлены в выражение и сократим дроби:

$ \frac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2(p - 2)}{p + 3} = \frac{a(p - 3)\cancel{(p + 3)}}{\cancel{(p - 2)}(p^2 + 2p + 4)} \cdot \frac{2\cancel{(p - 2)}}{\cancel{p + 3}} = \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $

Выражение $p^2 + 2p + 4$ является неполным квадратом суммы и на дальнейшие множители (в действительных числах) не раскладывается.

Ответ: $ \frac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} $

145. Из формулы 1a + 1b = 1c выразите:

а) переменную c через a и b;

б) переменную b через a и c.

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$

а) $\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{c}$
$c=\frac{ab}{a+b}$

б) $\frac{1}{b}=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}$
$$\begin{gathered} \frac{1}{b}=\frac{a-c}{ac} \\ b=\frac{ac}{a-c} \end{gathered}$$

а)

Дана формула: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} $.
Чтобы выразить переменную $c$, сначала выполним сложение дробей в левой части уравнения. Для этого приведем их к общему знаменателю $ab$:
$ \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{1}{c} $
$ \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{c} $
Получилось равенство двух дробей. Чтобы найти $c$, которое находится в знаменателе справа, мы можем "перевернуть" обе части уравнения (найти обратные величины):
$ c = \frac{ab}{a+b} $
Ответ: $ c = \frac{ab}{a+b} $

б)

Используем ту же исходную формулу: $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} $.
Чтобы выразить переменную $b$, сначала изолируем член $ \frac{1}{b} $. Для этого перенесем $ \frac{1}{a} $ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$ \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{a} $
Теперь выполним вычитание дробей в правой части. Для этого приведем их к общему знаменателю $ac$:
$ \frac{1}{b} = \frac{a}{ac} - \frac{c}{ac} $
$ \frac{1}{b} = \frac{a-c}{ac} $
Аналогично предыдущему пункту, "перевернем" обе части уравнения, чтобы найти $b$:
$ b = \frac{ac}{a-c} $
Ответ: $ b = \frac{ac}{a-c} $

146. Выполните действия:

a) $\frac{2b}{2b+3}-\frac{5}{3-2b}-\frac{a{b}^2+9}{4b^2-9}=$
$$\begin{gathered} =\frac{2b}{2b+3}+\frac{5}{2b-3}-\frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}= \\ =\frac{2b(2b-3)+5(2b+3)-4b^2-9}{(2b-3)(2b+3)}= \\ =\frac{4b^2-6b+10b+15-4b^2-9}{(2b-3)(2b+3)}= \\ =\frac{4b+6}{(2b-3)(2b+3)}=\frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)}=\frac{2}{2b-3} \end{gathered}$$

б) $\frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2}+\frac{2b}{a^2+2ab}-\frac{b}{ac-3a^2}=$
$$\begin{gathered} =\frac{c+6b}{(ac+2bc)-(6ab+3a^2)}+ \\ +\frac{2b}{a(a+2b)}-\frac{b}{a(c-3a)}= \\ =\frac{c+6b}{c(a+2b)-3a(2b+a)}+\frac{2b}{a(a+2b)}- \\ -\frac{b}{a(c-3a)}=\frac{(c+6b)a}{a(a+2b)(c-3a)}+ \\ +\frac{2b(c-3a)}{a(a+2b)(c-3a)}-\frac{b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}= \\ =\frac{ac+6ab+2bc-6ab-ab-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}= \\ =\frac{ac-ab+2bc-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}=\frac{a(c-b)+2b(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}= \\ =\frac{(a+2b)(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}=\frac{c-b}{a(c-3a)}=\frac{c-b}{ac-3a^2} \end{gathered}$$

а) Для того чтобы выполнить действия с дробями $\frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{3-2b} - \frac{4b^2+9}{4b^2-9}$, приведем их к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели. В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки, что изменит знак перед дробью: $\frac{5}{3-2b} = \frac{5}{-(2b-3)} = -\frac{5}{2b-3}$. Знаменатель третьей дроби разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4b^2-9 = (2b)^2 - 3^2 = (2b-3)(2b+3)$. После преобразований выражение примет вид: $\frac{2b}{2b+3} + \frac{5}{2b-3} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$. Общим знаменателем является произведение $(2b-3)(2b+3)$. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{2b(2b-3)}{(2b+3)(2b-3)} + \frac{5(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$. Теперь объединим числители под общим знаменателем: $\frac{2b(2b-3) + 5(2b+3) - (4b^2+9)}{(2b-3)(2b+3)}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{4b^2 - 6b + 10b + 15 - 4b^2 - 9}{(2b-3)(2b+3)}$. Приведем подобные слагаемые: $\frac{(4b^2 - 4b^2) + (-6b + 10b) + (15 - 9)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{4b+6}{(2b-3)(2b+3)}$. В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $4b+6 = 2(2b+3)$. Получаем дробь $\frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)}$. Сократим дробь на общий множитель $(2b+3)$.
Ответ: $\frac{2}{2b-3}$.

б) Упростим выражение $\frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2} + \frac{2b}{a^2+2ab} - \frac{b}{ac-3a^2}$. Сначала разложим знаменатели на множители. Первый знаменатель (методом группировки): $ac+2bc-6ab-3a^2 = c(a+2b) - 3a(2b+a) = (a+2b)(c-3a)$. Второй знаменатель: $a^2+2ab = a(a+2b)$. Третий знаменатель: $ac-3a^2 = a(c-3a)$. Общий знаменатель для дробей — $a(a+2b)(c-3a)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{a(c+6b)}{a(a+2b)(c-3a)} + \frac{2b(c-3a)}{a(a+2b)(c-3a)} - \frac{b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$. Объединим в одну дробь: $\frac{a(c+6b) + 2b(c-3a) - b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{ac+6ab+2bc-6ab-ab-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$. Приведем подобные слагаемые: $\frac{ac+2bc-ab-2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$. Разложим числитель на множители методом группировки: $ac+2bc-ab-2b^2 = c(a+2b) - b(a+2b) = (a+2b)(c-b)$. Дробь примет вид: $\frac{(a+2b)(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}$. Сократив на $(a+2b)$, получим итоговое выражение.
Ответ: $\frac{c-b}{a(c-3a)}$.