Страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

115. Выполните умножение:

a) -10x²y²9a² ∙ 27a³5xy;

б) 2m³35a³b² ∙ - 7a²b6m ;

в) 13x12mn² ∙ 4m²n;

г) -ab ∙ -11x²3a²b².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-\frac{10x^2{y}^2}{9a^2}·\frac{27a^3}{5xy}=-\frac{10x^2{y}^2·27a^3}{9a^2·5xy}= \\ =-\frac{2xy·3a}{1}=-6axy \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2m^3}{35a^3{b}^2}·\left(-\frac{7a^{2}b}{6m}\right)=-\frac{2m^3·7a^{2}b}{35a^3{b}^2·6m}= \\ =-\frac{m^2·1}{5ab·3}=-\frac{m^2}{15ab} \end{gathered}$$

в) $\frac{13x}{12m{n}^2}·4m^{2}n=\frac{13x·4m^{2}n}{12m{n}^2}=\frac{13n·m}{3n}=\frac{13xm}{3n}$

г) $-ab·\left(-\frac{11x^2}{3a^2{b}^2}\right)=\frac{ab·11x^2}{3a^2{b}^2}=\frac{11x^2}{3ab}$

а) Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение будет отрицательным, так как один из множителей имеет знак минус.
$ -\frac{10x^2y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy} = -\frac{10x^2y^2 \cdot 27a^3}{9a^2 \cdot 5xy} $
Далее сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{10}{5}=2 $ и $ \frac{27}{9}=3 $. Их произведение равно $ 2 \cdot 3 = 6 $.
Сокращаем переменные, используя свойство степеней $ \frac{k^m}{k^n} = k^{m-n} $:
$ \frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x $
$ \frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y $
$ \frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a $
Объединяем полученные результаты:
$ - (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot y \cdot a) = -6axy $
Ответ: $ -6axy $

б) Выполним умножение $ \frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot (-\frac{7a^2b}{6m}) $. Так как мы умножаем положительную дробь на отрицательную, результат будет отрицательным.
$ \frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot (-\frac{7a^2b}{6m}) = -\frac{2m^3 \cdot 7a^2b}{35a^3b^2 \cdot 6m} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ и $ \frac{7}{35} = \frac{1}{5} $. Перемножив их, получим $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $.
Сократим переменные:
$ \frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2 $
$ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $ (значит, $ a $ остается в знаменателе)
$ \frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $ (значит, $ b $ остается в знаменателе)
Собираем полученное выражение:
$ -\frac{1}{15} \cdot \frac{m^2}{ab} = -\frac{m^2}{15ab} $
Ответ: $ -\frac{m^2}{15ab} $

в) Чтобы выполнить умножение $ \frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2n $, представим второй множитель в виде дроби $ \frac{4m^2n}{1} $.
$ \frac{13x}{12mn^2} \cdot \frac{4m^2n}{1} = \frac{13x \cdot 4m^2n}{12mn^2} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.
Сократим переменные:
$ \frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m $
$ \frac{n}{n^2} = n^{1-2} = n^{-1} = \frac{1}{n} $ (значит, $ n $ остается в знаменателе)
Переменная $ x $ остается в числителе.
Собираем результат:
$ \frac{13 \cdot x \cdot m}{3 \cdot n} = \frac{13xm}{3n} $
Ответ: $ \frac{13xm}{3n} $

г) Выполним умножение $ -ab \cdot (-\frac{11x^2}{3a^2b^2}) $. Произведение двух отрицательных выражений является положительным.
$ -ab \cdot (-\frac{11x^2}{3a^2b^2}) = ab \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2} $
Представим первый множитель в виде дроби $ \frac{ab}{1} $ и выполним умножение:
$ \frac{ab}{1} \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2} = \frac{ab \cdot 11x^2}{3a^2b^2} $
Сократим переменные:
$ \frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a} $ (значит, $ a $ остается в знаменателе)
$ \frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b} $ (значит, $ b $ остается в знаменателе)
В числителе остаются $ 11 $ и $ x^2 $, а в знаменателе $ 3, a, b $.
Собираем все вместе:
$ \frac{11x^2}{3ab} $
Ответ: $ \frac{11x^2}{3ab} $

116. Упростите выражение:

a) 2a²b3xy ∙ 3x²y4ab² ∙ 6ax15b²;

б) 6m³n²35p³ ∙ 49n⁴m⁵p³ ∙ 5m⁴p²42n⁶.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2a^{2}b}{3xy}·\frac{3x^{2}y}{4a{b}^2}·\frac{6ax}{15b^2}= \\ =\frac{2a^{2}b·3x^{2}y·6ax}{3xy·4a{b}^2·15b^2}=\frac{12a^{3}b{x}^{3}y}{60a{b}^{4}xy}=\frac{a^2{x}^2}{5b^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6m^3{n}^2}{35p^3}·\frac{49n^4}{m^5{p}^3}·\frac{5m^4{p}^2}{42n^6}= \\ =\frac{6m^3{n}^2·49n^4\mathbf{·}5m^{4}p2}{35p^3·m^5{p}^3·42n^6}= \\ =\frac{6·49·5m^7{n}^6{p}^2}{35\mathbf{·}42m^5{n}^6{p}^6}=\frac{49m^2}{7·7p^4}=\frac{m^2}{p^4} \end{gathered}$$

а)

Для упрощения выражения необходимо перемножить все дроби. Для этого перемножим их числители и знаменатели соответственно:

$ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} = \frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе и выполним умножение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Числитель: $ (2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot b \cdot y = 36 a^3 x^3 b y $

Знаменатель: $ (3 \cdot 4 \cdot 15) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot x \cdot y = 180 a b^4 x y $

Получим дробь:

$ \frac{36a^3x^3by}{180ab^4xy} $

Теперь сократим эту дробь. Сначала сократим числовой коэффициент:

$ \frac{36}{180} = \frac{36}{5 \cdot 36} = \frac{1}{5} $

Затем сократим переменные, используя правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $

$ \frac{b}{b^4} = \frac{1}{b^{4-1}} = \frac{1}{b^3} $

$ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $

$ \frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1 $

Объединив все части, получим окончательный результат:

$ \frac{1}{5} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot x^2 = \frac{a^2x^2}{5b^3} $

Ответ: $ \frac{a^2x^2}{5b^3} $

б)

Аналогично предыдущему пункту, перемножим числители и знаменатели дробей:

$ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} = \frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6} $

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные в числителе и знаменателе:

Числитель: $ (6 \cdot 49 \cdot 5) \cdot (m^3 \cdot m^4) \cdot (n^2 \cdot n^4) \cdot p^2 = 1470 \cdot m^{3+4} \cdot n^{2+4} \cdot p^2 = 1470 m^7 n^6 p^2 $

Знаменатель: $ (35 \cdot 42) \cdot m^5 \cdot (p^3 \cdot p^3) \cdot n^6 = 1470 \cdot m^5 \cdot p^{3+3} \cdot n^6 = 1470 m^5 p^6 n^6 $

Получим дробь:

$ \frac{1470m^7n^6p^2}{1470m^5p^6n^6} $

Сократим дробь. Числовые коэффициенты $1470$ взаимно уничтожаются. Сократим переменные:

$ \frac{m^7}{m^5} = m^{7-5} = m^2 $

$ \frac{n^6}{n^6} = n^{6-6} = n^0 = 1 $

$ \frac{p^2}{p^6} = \frac{1}{p^{6-2}} = \frac{1}{p^4} $

Можно было также сократить коэффициенты, разложив их на множители:

$ \frac{6 \cdot 49 \cdot 5}{35 \cdot 42} = \frac{(2 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 7)} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 5}{5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 7} = 1 $

Объединив все упрощенные части, получаем итоговый результат:

$ 1 \cdot m^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^4} = \frac{m^2}{p^4} $

Ответ: $ \frac{m^2}{p^4} $

117. Возведите в степень:

a) x2y³;

б) 3ac⁴;

в) n²10m³;

г) 9a³2b²².

a) ${\left(\frac{x}{2y}\right)}^3=\frac{x^3}{8y^3};$

б) ${\left(\frac{3a}{c}\right)}^4=\frac{81a^4}{c^4};$

в) ${\left(\frac{n^2}{10m}\right)}^3=\frac{n^6}{1000m^3};$

г) ${\left(\frac{9a^3}{2b^2}\right)}^2=\frac{81a^6}{4b^4}$

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$(\frac{x}{2y})^3 = \frac{x^3}{(2y)^3}$

Далее, чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Используем свойство $(ab)^n = a^n b^n$.

$(2y)^3 = 2^3 \cdot y^3 = 8y^3$

Собираем полученные части вместе:

$\frac{x^3}{8y^3}$

Ответ: $\frac{x^3}{8y^3}$

б) Применяем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере.

$(\frac{3a}{c})^4 = \frac{(3a)^4}{c^4}$

Возводим в степень числитель:

$(3a)^4 = 3^4 \cdot a^4 = 81a^4$

Знаменатель уже возведен в степень. Запишем итоговый результат:

$\frac{81a^4}{c^4}$

Ответ: $\frac{81a^4}{c^4}$

в) В этом примере мы также будем использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(\frac{n^2}{10m})^3 = \frac{(n^2)^3}{(10m)^3}$

Возводим в степень числитель:

$(n^2)^3 = n^{2 \cdot 3} = n^6$

Возводим в степень знаменатель:

$(10m)^3 = 10^3 \cdot m^3 = 1000m^3$

Объединяем числитель и знаменатель:

$\frac{n^6}{1000m^3}$

Ответ: $\frac{n^6}{1000m^3}$

г) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби, используя все перечисленные выше свойства степеней.

$(\frac{9a^3}{2b^2})^2 = \frac{(9a^3)^2}{(2b^2)^2}$

Преобразуем числитель:

$(9a^3)^2 = 9^2 \cdot (a^3)^2 = 81 \cdot a^{3 \cdot 2} = 81a^6$

Преобразуем знаменатель:

$(2b^2)^2 = 2^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot b^{2 \cdot 2} = 4b^4$

Запишем конечную дробь:

$\frac{81a^6}{4b^4}$

Ответ: $\frac{81a^6}{4b^4}$

118. Возведите в степень:

a) 2ap²q³⁴;

б) 3a²b³s⁴²;

в) -2a²b3mn³²;

г) -3x²2y³³.

a) ${\left(\frac{2a}{p^2{q}^3}\right)}^4=\frac{16a^4}{p^8{q}^{12}};$

б) ${\left(\frac{3a^2{b}^3}{s^4}\right)}^2=\frac{9a^4{b}^6}{s^8};$

в) ${\left(-\frac{2a^{2}b}{3m{n}^3}\right)}^2=\frac{4a^4{b}^2}{9m^2{n}^6};$

г) ${\left(-\frac{3x^2}{2y^3}\right)}^3=-\frac{27x^6}{8y^9}$

а) Для того чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель в числителе и знаменателе. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

$(\frac{2a}{p^2q^3})^4 = \frac{(2a)^4}{(p^2q^3)^4} = \frac{2^4 \cdot a^4}{(p^2)^4 \cdot (q^3)^4} = \frac{16a^4}{p^{2 \cdot 4}q^{3 \cdot 4}} = \frac{16a^4}{p^8q^{12}}$

Ответ: $\frac{16a^4}{p^8q^{12}}$

б) Используем те же правила возведения в степень, что и в предыдущем примере.

$(\frac{3a^2b^3}{s^4})^2 = \frac{(3a^2b^3)^2}{(s^4)^2} = \frac{3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2}{s^{4 \cdot 2}} = \frac{9a^{2 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}}{s^8} = \frac{9a^4b^6}{s^8}$

Ответ: $\frac{9a^4b^6}{s^8}$

в) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае в квадрат) результат будет положительным.

$(-\frac{2a^2b}{3mn^3})^2 = (\frac{2a^2b}{3mn^3})^2 = \frac{(2a^2b)^2}{(3mn^3)^2} = \frac{2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2}{3^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2} = \frac{4a^{2 \cdot 2}b^2}{9m^2n^{3 \cdot 2}} = \frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}$

Ответ: $\frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}$

г) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае в куб) результат будет отрицательным.

$(-\frac{3x^2}{2y^3})^3 = -(\frac{3x^2}{2y^3})^3 = -\frac{(3x^2)^3}{(2y^3)^3} = -\frac{3^3 \cdot (x^2)^3}{2^3 \cdot (y^3)^3} = -\frac{27x^{2 \cdot 3}}{8y^{3 \cdot 3}} = -\frac{27x^6}{8y^9}$

Ответ: $-\frac{27x^6}{8y^9}$

119. Представьте в виде дроби:

a) 5a³3b²⁴;

б) 2x²3y³⁵;

в) -10m²n²p³;

г) -b³c²8a³².

a) ${\left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)}^4=\frac{625a^{12}}{81b^8};$

б) ${\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)}^5=\frac{32x^{10}}{243y^{15}};$

в) ${\left(-\frac{10m^2}{n^{2}p}\right)}^3=-\frac{1000m^6}{n^6{p}^3};$

г) ${\left(-\frac{b^3{c}^2}{8a^3}\right)}^2=\frac{b^6{c}^4}{64a^6}$

а) Чтобы представить выражение $(\frac{5a^3}{3b^2})^4$ в виде дроби, нужно возвести в четвертую степень и числитель, и знаменатель дроби, используя свойство степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{5a^3}{3b^2})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4}$
Затем применяем свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$ к числителю и знаменателю:
$\frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4} = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4} = \frac{625 \cdot a^{3 \cdot 4}}{81 \cdot b^{2 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8}$
Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8}$

б) Аналогично предыдущему пункту, возводим дробь $(\frac{2x^2}{3y^3})^5$ в пятую степень.
$(\frac{2x^2}{3y^3})^5 = \frac{(2x^2)^5}{(3y^3)^5}$
Применяем свойства степеней:
$\frac{2^5 \cdot (x^2)^5}{3^5 \cdot (y^3)^5} = \frac{32 \cdot x^{2 \cdot 5}}{243 \cdot y^{3 \cdot 5}} = \frac{32x^{10}}{243y^{15}}$
Ответ: $\frac{32x^{10}}{243y^{15}}$

в) Возводим дробь $(-\frac{10m^2}{n^2p})^3$ в третью степень. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется.
$(-\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -(\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -\frac{(10m^2)^3}{(n^2p)^3}$
Применяем свойства степеней к числителю и знаменателю:
$-\frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{(n^2)^3 \cdot p^3} = -\frac{1000 \cdot m^{2 \cdot 3}}{n^{2 \cdot 3} \cdot p^3} = -\frac{1000m^6}{n^6p^3}$
Ответ: $-\frac{1000m^6}{n^6p^3}$

г) Возводим дробь $(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2$ во вторую степень. Так как степень четная (2), знак минус исчезает, поскольку отрицательное число в четной степени становится положительным.
$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2}$
Применяем свойства степеней:
$\frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2} = \frac{b^{3 \cdot 2} \cdot c^{2 \cdot 2}}{64 \cdot a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$
Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$

120. Зная, что a - 5a = 2, найдите значение выражения a² + 25a².

$a-\frac{5}{a}=2;$

${\left(a-\frac{5}{a}\right)}^2=a^2-2a·\frac{5}{a}+\frac{25}{a^2}=4;$

$a^2+\frac{25}{a^2}=4+10=14$

Ответ: 14

Нам дано равенство $a - \frac{5}{a} = 2$. Необходимо найти значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$.

Чтобы найти значение искомого выражения, возведем обе части данного нам равенства в квадрат.

$(a - \frac{5}{a})^2 = 2^2$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=\frac{5}{a}$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{5}{a} + (\frac{5}{a})^2 = 4$

Упростим полученное выражение. В среднем члене $a$ и $\frac{1}{a}$ сокращаются:

$a^2 - 2 \cdot 5 + \frac{25}{a^2} = 4$

$a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4$

Теперь, чтобы найти значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$, перенесем $-10$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 4 + 10$

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 14$

Ответ: 14

121. Выполните умножение:

a) x² - xyy ∙ y²x;

б) 3ab² ∙ ab + b²9;

в) m - nmn ∙ 2mnmn - m²;

г) 4abcx + dx ∙ ax + bx2ab;

д) ma - mb3n² ∙ 2mnb - na;

е) ax - ay5x²y² ∙ -5xyby - bx.

a) $\frac{x^2-xy}{y}·\frac{y^2}{x}=\frac{x(x-y)·y^2}{y·x}=(x-y)y=xy-y^2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3a}{b^2}·\frac{ab+b^2}{9}=\frac{3a·b(a+b)}{b^2·9}= \\ =\frac{a(a+b)}{3b}=\frac{a^2+ab}{3b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{m-n}{mn}·\frac{2mn}{mn-m^2}=\frac{(m-n)·2mn}{mn·m(n-m)}= \\ =\frac{-2(n-m)}{m(n-m)}=-\frac{2}{m} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{4ab}{cx+dx}·\frac{ax+bx}{2ab}=\frac{4ab·x(a+b)}{x(c+d)·2ab}= \\ =\frac{4(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a+b)}{c+d}=\frac{2a+2b}{c+d} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{ma-mb}{3n^2}·\frac{2m}{nb-na}=\frac{m(a-b)·2m}{3n^2·n(b-a)}= \\ =\frac{-2m^2(b-a)}{3n^3(b-a)}=-\frac{2m^2}{2n^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{ax-ay}{5x^2{y}^2}·\left(-\frac{5xy}{by-bx}\right)= \\ =-\frac{a(x-y)·5xy}{5x^2{y}^2·b(y-x)}=\frac{a(y-x)}{xy·b(y-x)}=\frac{a}{bxy} \end{gathered}$$

а) $ \frac{x^2 - xy}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x(x - y)}{y} \cdot \frac{y^2}{x} = \frac{x(x - y)y^2}{yx} = y(x - y) $. Ответ: $y(x - y)$.

б) $ \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9} = \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b(a + b)}{9} = \frac{3ab(a + b)}{9b^2} = \frac{a(a + b)}{3b} $. Ответ: $\frac{a(a + b)}{3b}$.

в) $ \frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn - m^2} = \frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{m(n - m)} = \frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{-m(m - n)} = -\frac{2mn(m-n)}{m^2n(m-n)} = -\frac{2}{m} $. Ответ: $-\frac{2}{m}$.

г) $ \frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab} = \frac{4ab}{x(c + d)} \cdot \frac{x(a + b)}{2ab} = \frac{4abx(a + b)}{2abx(c + d)} = \frac{2(a + b)}{c + d} $. Ответ: $\frac{2(a + b)}{c + d}$.

д) $ \frac{ma - mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb - na} = \frac{m(a - b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{n(b - a)} = \frac{m(a - b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{-n(a - b)} = -\frac{2m^2(a-b)}{3n^3(a-b)} = -\frac{2m^2}{3n^3} $. Ответ: $-\frac{2m^2}{3n^3}$.

е) $ \frac{ax - ay}{5x^2y^2} \cdot \left(-\frac{5xy}{by - bx}\right) = -\frac{a(x - y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{b(y - x)} = -\frac{a(x - y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{-b(x - y)} = \frac{5axy(x-y)}{5x^2y^2b(x-y)} = \frac{a}{bxy} $. Ответ: $\frac{a}{bxy}$.

122. Выполните умножение:

a) (3a - 15b) ∙8a² - 25b²;

б) (x² - 4) ∙ 2x(x + 2)²;

в) y3y² - 12 ∙ (y² - 4y + 4);

г) 2aba² - 6ab + 9b² ∙ (a² - 9b²).

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}(3a-15b)·\frac{8}{a^2-25b^2}= \\ =\frac{3(a-5b)·8}{(a-5b)(a+5b)}=\frac{24}{a+5b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}(x^2-4)·\frac{2x}{{(x+2)}^2}=\frac{(x-2)(x+2)·2x}{{(x+2)}^2}= \\ =\frac{2x(x-2)}{x+2}=\frac{2x^2-4x}{x+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y}{3y^2}·(y^2-4y+4)=\frac{y{(y-2)}^2}{3(y^2-4)}= \\ =\frac{y{(y-2)}^2}{3(y-2)(y+2)}=\frac{y(y-2)}{3(y+2)}=\frac{y^2-2y}{3y+6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{2ab}{a^2-6ab+9b^2}·(a^2-9b^2)= \\ =\frac{2ab·(a-3b)(a+3b)}{{(a-3b)}^2}= \\ =\frac{2ab(a+3b)}{a-3b}=\frac{2a^{2}b+6a{b}^2}{a-3b} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить умножение $(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
1. Запишем выражение в виде дроби: $\frac{(3a - 15b) \cdot 8}{a^2 - 25b^2}$.
2. В выражении $(3a - 15b)$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a - 5b)$.
3. Знаменатель $a^2 - 25b^2$ разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
4. Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{3(a - 5b) \cdot 8}{(a - 5b)(a + 5b)}$.
5. Сократим общий множитель $(a - 5b)$: $\frac{3 \cdot 8}{a + 5b} = \frac{24}{a + 5b}$.
Ответ: $\frac{24}{a + 5b}$

б) Чтобы выполнить умножение $(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2}$, разложим на множители выражение в скобках.
1. Запишем всё в виде одной дроби: $\frac{(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x + 2)^2}$.
2. Выражение $x^2 - 4$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
3. Подставим разложенное выражение в дробь: $\frac{(x - 2)(x + 2) \cdot 2x}{(x + 2)^2}$.
4. Знаменатель $(x + 2)^2$ можно записать как $(x+2)(x+2)$. Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$: $\frac{(x - 2) \cdot 2x}{x + 2} = \frac{2x(x - 2)}{x + 2}$.
Ответ: $\frac{2x(x - 2)}{x + 2}$

в) Чтобы выполнить умножение $\frac{y}{3y^2 - 12} \cdot (y^2 - 4y + 4)$, разложим на множители числитель и знаменатель получившейся дроби.
1. Запишем выражение в виде одной дроби: $\frac{y \cdot (y^2 - 4y + 4)}{3y^2 - 12}$.
2. Выражение $y^2 - 4y + 4$ в числителе является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$.
3. В знаменателе $3y^2 - 12$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(y^2 - 4)$. Затем применим формулу разности квадратов: $3(y-2)(y+2)$.
4. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{y \cdot (y - 2)^2}{3(y - 2)(y + 2)}$.
5. Сократим дробь на общий множитель $(y - 2)$: $\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$.
Ответ: $\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$

г) Чтобы выполнить умножение $\frac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 - 9b^2)$, разложим на множители числитель и знаменатель.
1. Запишем выражение в виде одной дроби: $\frac{2ab \cdot (a^2 - 9b^2)}{a^2 - 6ab + 9b^2}$.
2. Знаменатель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$.
3. Выражение в числителе $a^2 - 9b^2$ разложим по формуле разности квадратов: $a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.
4. Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{2ab \cdot (a - 3b)(a + 3b)}{(a - 3b)^2}$.
5. Сократим дробь на общий множитель $(a - 3b)$: $\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$.
Ответ: $\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$

123. Представьте в виде дроби:

a) xya² + a³ ∙ a + a²x²y²;

б) 6ax² - x ∙ 2x - 23ax.

a) $\frac{xy}{a^2+a^3}·\frac{a+a^2}{x^2{y}^2}=\frac{xy·a(1+a)}{a^2(1+a)·x^2{y}^2}=\frac{1}{axy}$

б) $\frac{6a}{x^2-x}·\frac{2x-2}{3ax}=\frac{6a·2(x-1)}{x(x-1)·3ax}=\frac{12a}{3a{x}^2}=\frac{4}{x^2}$

а) $\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2}$

Для того чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$\frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2} = \frac{xy(a + a^2)}{(a^2 + a^3)x^2y^2}$

Чтобы упростить полученное выражение, разложим на множители числитель и знаменатель. Для этого вынесем общие множители за скобки:

В числителе: $a + a^2 = a(1 + a)$

В знаменателе: $a^2 + a^3 = a^2(1 + a)$

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{xy \cdot a(1 + a)}{a^2(1 + a) \cdot x^2y^2}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $a$, $(1+a)$, $x$ и $y$.

$\frac{\cancel{x}\cancel{y} \cdot \cancel{a}(\cancel{1+a})}{a^{\cancel{2}}(\cancel{1+a}) \cdot x^{\cancel{2}}y^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a \cdot xy}$

После сокращения в числителе остается 1, а в знаменателе $axy$.

Ответ: $\frac{1}{axy}$

б) $\frac{6a}{x^2 - x} \cdot \frac{2x - 2}{3ax}$

Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{6a(2x - 2)}{(x^2 - x)3ax}$

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе, вынося общие множители за скобки:

В числителе: $2x - 2 = 2(x - 1)$

В знаменателе: $x^2 - x = x(x - 1)$

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{6a \cdot 2(x - 1)}{x(x - 1) \cdot 3ax}$

Объединим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{12a(x - 1)}{3ax^2(x - 1)}$

Теперь сократим общие множители: $a$, $(x-1)$ и числовые коэффициенты (12 и 3):

$\frac{\cancel{12}^4\cancel{a}(\cancel{x - 1})}{\cancel{3}\cancel{a}x^2(\cancel{x - 1})} = \frac{4}{x^2}$

Ответ: $\frac{4}{x^2}$