Номер 120, страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 120, страница 33.

120. Зная, что a - 5a = 2, найдите значение выражения a² + 25a².

$a-\frac{5}{a}=2;$

${\left(a-\frac{5}{a}\right)}^2=a^2-2a·\frac{5}{a}+\frac{25}{a^2}=4;$

$a^2+\frac{25}{a^2}=4+10=14$

Ответ: 14

Нам дано равенство $a - \frac{5}{a} = 2$. Необходимо найти значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$.

Чтобы найти значение искомого выражения, возведем обе части данного нам равенства в квадрат.

$(a - \frac{5}{a})^2 = 2^2$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=\frac{5}{a}$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{5}{a} + (\frac{5}{a})^2 = 4$

Упростим полученное выражение. В среднем члене $a$ и $\frac{1}{a}$ сокращаются:

$a^2 - 2 \cdot 5 + \frac{25}{a^2} = 4$

$a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4$

Теперь, чтобы найти значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$, перенесем $-10$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 4 + 10$

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 14$

Ответ: 14